Le théorème de Thalès : propriétés et réciproque avec exemples

Le théorème de Thalès, c’est quoi ?

Quand l’appliquer ?

Le théorème de Thalès s’applique dans deux configurations distinctes, mais les formules vont être les mêmes. Quand on coupe deux droites sécantes à un point par deux droites parallèles, on obtient deux triangles. Ces triangles peuvent être « l’un dans l’autre » ou en forme de sablier :

Dans les deux cas, ce qui va nous intéresser ce sont les deux droites qui doivent être parallèles pour que l’on puisse trouver la longueur d’un segment et donc appliquer le théorème.

Propriété 

Quand on coupe deux droites sécantes à un point par deux droites parallèles, les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux côtés associés de l’autre triangle.

Si A, B, C, D, E sont cinq points tels que:

• (AB) et (DE) sont parallèles.
• (AD) et (EB) se coupent en C.

Alors :

[AC] / [DC] = [BC] / [EC] = [AB] / [DE]

Quand on écrit l’égalité des trois quotients, on met :

• au numérateur, un côté du petit triangle ;
• au dénominateur, le côté associé du second triangle.

Application

Soit la configuration exposée ci-dessus.
On donne DC=3 cm, AC=5 cm, ED=4cm et BC=4cm.
Calculer EC et AB.

Méthode : 

1. On énonce le théorème et on écrit les rapports égaux.

2. On remplace les longueurs connues par leurs valeurs numériques et on raye le rapport inutile.

3. On réalise un produit en croix.

On sait que :
D appartient à (AC)
E appartient à (BC)
(ED) et (AB) sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès :

DC / AC = DE / AB = EC / BC

3 / 5= 4 / AB = EC / 4

D’où en utilisant l’égalité des produits en croix, on a :

3 × AB = 4 × 5

3 × AB = 20

AB = 20 : 3

3 × 4 = 5 × EC

12 = 5 × EC

EC = 12 : 5 = 2,4

Conséquence du théorème de Thalès

Le théorème de Thalès permet aussi de montrer que deux droites ne sont pas parallèles (par l’absurde) en montrant qu’il n’y a pas d’égalité, on parlera de conséquence du théorème de Thalès.

Exemple

Soit la figure ci-dessus. On donne DA = 4 cm et AC = 10 cm, AE = 2 cm, DE = 3 cm et BC = 7 cm.

Montrer que les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.

On a d’une part : DA / AC = 4 / 10 ; et d’autre part : DE / BC = 3 / 7

3 × 10 = 30 et 7 × 4 = 28

Les produits en croix ne sont pas égaux, donc :
AD/AC ≠ DE/BC.

D’après la conséquence du théorème de Thalès, les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer si des droites sont parallèles.

Exemple :

Soit la figure suivante avec CD = 4 cm ; AC = 5 cm ; CE= 6 cm et BC =7,5 cm.
Montrer que les droites (AB) et (TE) sont parallèles.

On a d’une part CD / AC = 4 / 5 ; et d’autre part CE / BC = 6 / 7,5

4 × 7,5 = 30
6 × 5 = 30

Les produits en croix sont égaux donc CD / AC = CE / BC.

On sait également que les points A,D,C et B,E,C sont alignés dans le même ordre.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès (AB) et (DE) sont parallèles.