Volume et figures : sujet corrigé (centres étrangers 2017)

mathématiques

Voici les dimensions de quatre solides :<img alt="mat3_1706_06_04C_01" src="https://diy7ta1tt6jst.cloudfront.net/prod/okulus/4aa952b1-0184-4e02-b735-06a6d48cb0d2" /><ul><li>Une pyramide de 6 cm de hauteur dont la base est un rectangle de 6 cm de longueur et de 3 cm de largeur.</li></ul><ul><li>Un cylindre de 2 cm de rayon et de 3 cm de hauteur.</li></ul><ul><li>Un cône de 3 cm de rayon et de 3 cm de hauteur.</li></ul><ul><li>Une boule de 2 cm de rayon.</li></ul>1. a) Représenter approximativement les trois premiers solides comme l’exemple ci-dessus.b) Placer les dimensions données sur les représentations.2. Classer ces quatre solides dans l’ordre croissant de leurs volumes.Quelques formules :<ul><li><math><mrow><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>×</mo><mi>π</mi><mo>×</mo><msup><mrow><mtext>rayon</mtext></mrow><mn>3</mn></msup></mrow></math></li></ul><ul><li><math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>×</mo><mi>π</mi><mo>×</mo><msup><mrow><mtext>rayon</mtext></mrow><mn>2</mn></msup><mo>×</mo><mtext>hauteur</mtext></mrow></math></li></ul><ul><li><math><mrow><mi>π</mi><mo>×</mo><msup><mrow><mtext>rayon</mtext></mrow><mn>2</mn></msup><mo>×</mo><mtext>hauteur</mtext></mrow></math></li></ul><ul><li><math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>×</mo><mtext>aire de la base</mtext><mo>×</mo><mtext>hauteur</mtext></mrow></math></li></ul>Les clés du sujet<h2>Points du programme</h2>Tracer des figures dans l’espace • Calculs de volumes.<h2>Nos coups de pouce</h2> 1. Utilise une règle graduée, une équerre et un compas. 2. Pour calculer les quatre volumes, applique les formules données.<h3>Correction</h3>1. a) et b)<img alt="mat3_1706_06_04C_02" src="https://diy7ta1tt6jst.cloudfront.net/prod/okulus/ac17b8b5-4cf1-4162-91a6-7fceb5c877f3" />2. Notons 𝒱 1, 𝒱 2, 𝒱 3 et 𝒱 4 les volumes respectifs de la pyramide, du cylindre, du cône et de la boule.Nous avons 𝒱 1 = <math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo> </mo><mo>×</mo><mo> </mo><mtext>aire de la base </mtext><mo>×</mo><mo> </mo><mtext>hauteur</mtext></mrow></math>soit 𝒱 1 = <math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>×</mo><mo>(</mo><mtext>3</mtext><mo>×</mo><mn>6</mn><mo>)</mo><mo>×</mo><mn>6</mn></mrow></math>Donc 𝒱 1 = 36 cm3.Nous avons 𝒱 2 = <math><mrow><mi>π</mi><mo>×</mo><msup><mrow><mtext>rayon</mtext></mrow><mn>2</mn></msup><mo>×</mo><mtext>hauteur</mtext></mrow></math> soit 𝒱 2 = <math><mrow><mi>π</mi><mo>×</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></math> ou encore 𝒱 2 = 12π.Donc 𝒱 2 = 37,7 cm3 (valeur arrondie au dixième).Nous avons 𝒱 3 = <math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>×</mo><mi>π</mi><mo>×</mo><msup><mrow><mtext>rayon</mtext></mrow><mn>2</mn></msup><mo>×</mo><mtext>hauteur</mtext></mrow></math>, soit 𝒱 3 = <math><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>×</mo><mi>π</mi><mo>×</mo><msup><mn>3</mn><mn>2</mn></msup><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></math>, soit 𝒱 3 = 9π. Donc 𝒱 3 = 28,3 cm3 (valeur arrondie au dixième).Nous avons 𝒱 4 = <math><mrow><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>×</mo><mi>π</mi><mo>×</mo><msup><mrow><mtext>rayon</mtext></mrow><mn>3</mn></msup></mrow></math>, soit 𝒱 4 = <math><mrow><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>×</mo><mi>π</mi><mo>×</mo><msup><mn>2</mn><mn>3</mn></msup></mrow></math> ou encore 𝒱 4 = <math><mrow><mfrac><mrow><mn>32</mn><mi>π</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math>.Donc 𝒱 4 = 33,5 cm3 (valeur arrondie au dixième).Conclusion : par ordre croissant des volumes, nous avons :volume du cône – volume de la boule – volume de la pyramide – volume du cylindre, car 𝒱 3 &lt; 𝒱 4 &lt; 𝒱 1 &lt; 𝒱 2.

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