I. Rappels de cours
Agrandissement et réduction
Lorsque toutes les dimensions d’une figure F sont multipliées par un même nombre k, on obtient une figure F′ qui vérifie les propriétés suivantes :
- Si k>1, F′est un agrandissement de F.
- Si 0<k<1, F′ est une réduction de F.
- L’aire de F′ se calcule en multipliant l’aire de F par k2.
- Le volume de F′ se calcule en multipliant le volume de F par k3.
II. Méthodes
1) Calculer un coefficient d’agrandissement
Une photographie d’identité rectangulaire possède une largeur de 3,5 cm et une hauteur de 4,5 cm. Elle est agrandie et ses nouvelles dimensions sont : largeur 14 cm et hauteur 18 cm.
Quel est le coefficient d’agrandissement ?
Solution
Nous pouvons remarquer que 143,5=184,5=4.
Le coefficient d’agrandissement est égal à 4.
C’est aussi le coefficient de proportionnalité.
2) Calculer l’aire d’un agrandissement
La maquette d’un terrain de rugby de forme rectangulaire possède les dimensions suivantes : longueur 40 cm et largeur 27,6 cm.
a. Quelle est l’aire de cette maquette ?
b. Sachant que la maquette est à l’échelle 1250, déduire de l’aire de la maquette l’aire réelle du terrain de rugby.
Conseils
Identifie le coefficient d’agrandissement du terrain par rapport à la maquette.
Solution
a. Soit a l’aire de la maquette. Alors a=40×27,6 cm2, soit a=1 104 cm2.
b. Le terrain de rugby est un agrandissement de la maquette dans le rapport 250. Son aire vaut A=2502×1 104, soit A=69 000 000 cm2 ou encore 6 900 m2.
3) Calculer le volume d’une réduction
Neptune possède un aquarium ayant la forme d’un parallélépipède rectangle et qui peut contenir au maximum 198 L d’eau. Il décide d’en acheter un plus petit ayant la même forme mais dont les trois dimensions sont une réduction de 20 % des dimensions du premier aquarium.
a. Calculer la contenance exacte en cm3 du second aquarium.
b. En fait, le second aquarium possède une longueur de 72 cm et une largeur de 32 cm. Quelle est la hauteur du premier aquarium ?
Conseils
Afin de ne pas perdre d’information, note les dimensions du premier aquarium dans un premier tableau et les dimensions du second aquarium dans un second tableau.
Solution
a. Les dimensions du second aquarium sont une réduction de 20 % des dimensions du premier aquarium cela signifie que les dimensions du second aquarium sont égales à 80 % des dimensions du premier aquarium. Il s’agit donc d’une réduction de coefficient 0,8.
Notons V1 et V2 les volumes respectifs du premier et du second aquarium.
V2=(0,8)3×V1 soit V2=(0,8)3×198=101,376 L ou V2=101 376 cm3.
b. La longueur L du premier aquarium est égale à 720,8, soit 90 cm.
La largeur l du premier aquarium est égale à 320,8, soit 40 cm.
La hauteur h du premier aquarium est telle que 90×40×h=198 000 cm3.
Nous obtenons h=55 cm.