Appliquer des transformations géométriques

I. Rappels de cours

1) Quelques transformations

Symétrie axiale Le point M′ est le symétrique du point M par rapport à la droite 𝒟 si 𝒟 est la médiatrice du segment [MM′ ]. Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent après pliage de la feuille le long de la droite.

Symétrie centrale Le point M′ est le symétrique du point M par rapport au point O si ce point O est le milieu du segment [MM′ ]. Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si elles sont superposables après un demi-tour autour de O (ou après rotation de 180° de centre O).

Rotation Le point M′ est l’image du point M par la rotation d’angle α si OM=OM′ et MOM′ ^=α. Cette rotation peut s’effectuer dans le sens des aiguilles d’une montre ou non.

Translation Dans le parallélogramme ABCD, le point C est l’image du point D par la translation qui transforme le point A en le point B. On parle parfois de « glissement ». L’image d’une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle. L’image d’une figure par une translation est une figure qui lui est superposable.

2) Propriétés de conservation

Ces transformations géométriques conservent les longueurs, les angles, les aires, les alignements, le parallélisme et la perpendicularité.

II. Méthode

Construire une figure à l’aide des transformations

a. Tracer un carré ABCD de centre O et de 2 cm de côté, puis :

• placer le point E image du point O dans la symétrie de centre B 

• placer le point F image du point C dans la translation qui transforme le point A en le point O 

• placer le point G image du point E dans la rotation de centre O qui transforme B en A 

• placer le point H tel que les droites (AD) et (GH) soient parallèles, GH = 2AD et enfin que l’angle HGA^ soit aigu.

b. Démontrer que les droites (EF) et (AD) sont parallèles.

Conseils

b. Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on peut essayer d’appliquer la réciproque du théorème de Thalès. 

Solution

a. Puisque E est l’image de O dans la symétrie de centre B, alors B est le milieu du segment [OE].

Puisque F est l’image C dans la translation qui transforme A en O, alors les points O, C, F sont alignés et AO=CF.

Puisque G est l’image de E dans la rotation de centre O qui transforme B en A, alors OG=OE et EOG^=BOA^.

Il existe a priori deux points H possibles mais un seul donne un angle HGA^ aigu.

b. Voici une démonstration possible. Les points O, C, F sont alignés dans le même ordre que les points O, B, E et, de plus, OCOF=OBOE=12. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (BC) sont parallèles. Or (BC) et (AD) sont parallèles puisque ABCD est un carré. Donc (EF) et (AD) sont parallèles.