I. Rappels de cours
1) Premier cas d’égalité des triangles
À savoir
On dit que deux triangles sont égaux lorsqu’ils sont superposables.
Si deux triangles ont un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement égaux, alors ces triangles sont égaux.
Exemple : Si BC = EF, ABC^=DEF^ et ACB^=DFE^, alors les triangles ABC et DEF sont égaux. Nous pouvons en déduire que AB=DE, AC=DF et BAC^=EDF^.
2) Deuxième cas d’égalité des triangles
Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ces triangles sont égaux.
Exemple : Si BAC^=EDF^, AB=DE et AC=DF, alors les triangles ABC et DEF sont égaux. Nous pouvons en déduire que ABC^=DEF^, ACB^=DFE^ et BC=EF.
3) Troisième cas d’égalité des triangles
Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement de même longueur, alors ces triangles sont égaux.
Exemple : Si AB=DE, AC=DF et BC=EF, alors les triangles ABC et DEF sont égaux. Nous pouvons en déduire que ABC^=DEF^, ACB^=DFE^ et BAC^=EDF^.
II. Méthode
Comparer deux longueurs
Soit un triangle ABC isocèle en A.
On note I et J les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC] de ce triangle.
On note K le point d’intersection des droites (CI) et (BJ).
Construire une figure, puis comparer les distances CI et BJ.
Conseils
Trouve des triangles qui pourraient être égaux, puis applique le deuxième cas d’égalité des triangles.
Solution
Considérons les triangles BIC et CJB. Nous savons que [BC] est un côté commun aux deux triangles.
Nous savons aussi que IBC^=JCB^ et que AB=AC puisque le triangle ABC est isocèle en A. Alors BI=AB2 et CJ=AC2 donc BI=CJ.
D’après le deuxième cas d’égalité, les triangles BIC et CJB sont égaux. En conséquence CI = BJ.
Conclusion : les distances CI et BJ sont égales.