Calculer des aires

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I. Rappels de cours

Formules donnant les principales aires

Carré

98891_fiche_29_doc_01

côté c

𝒜 = c2

Rectangle

98891_fiche_29_doc_02

longueur L

et largeur l

𝒜 = L×l

Triangle

98891_fiche_29_doc_03

base b et hauteur h

𝒜 = b×h2

Parallélogramme

98891_fiche_29_doc_04

base b et hauteur h

𝒜 = b×h

Losange

98891_fiche_29_doc_05

diagonales D et d

𝒜 = D×d2

Trapèze

98891_fiche_29_doc_06

bases de longueurs B

et b, hauteur h

𝒜 = (B+b)×h2

Disque

98891_fiche_29_doc_07

rayon r

𝒜 = π×r2

Boule

98891_fiche_29_doc_08

rayon r

𝒜 = 4π×r2

Cylindre de révolution

98891_fiche_29_doc_09

hauteur h,

base de rayon r

Aire latérale :

𝒜 1 = 2π×r×h

Aire totale :

𝒜 2 = 2πrh+2πr2

II. Méthodes

1) Calculer les aires de figures planes

Soient un triangle de base b=10 cm et de hauteur h=4,5 cm  un disque de rayon r=2,7 cm et un trapèze de bases B=6 cm et b=5 cm et de hauteur h′=4,1 cm.

Classer en ordre décroissant les aires de ces trois figures.

Solution

Soit A 1 l’aire du triangle : A 1=b×h2=10×4,52 ou encore A 1=22,5 cm2.

Soit A 2 l’aire du disque : A 2=π×r2=π×2,72 ou encore A 2=22,90 cm2 à 10−2 près.

Soit A 3 l’aire du trapèze : A 3=(B+b)×h′2=(6+5)×4,12 ou encore A 3=22,55 cm2.

Conclusion : le classement en ordre décroissant des trois aires est A 2, A 3 et A 1.

2) Calculer les aires d’une boule et d’un cylindre

Soit une boule de rayon r=5 cm et un cylindre de révolution de hauteur h=5 cm et dont la base a pour rayon r′=11,5 cm.

L’aire latérale du cylindre A 2 dépasse-t-elle de 15 % l’aire A 1 de la boule ?

Conseils

  • Calcule les valeurs exactes des deux aires.
  • Évalue la différence des deux aires en fontion de l’aire de la boule.

Solution

  • A 1=4×π×r2=4×π×52 ou A 1=100π cm2.
  • A 2=2π×r′×h=2π×11,5×5 ou A 2=115π cm2.
  • Nous avons A 2−A 1=115π–100π, soit A 2–A 1=15π

ou encore A 2–A 1=15100×100π. Donc A 2−A 1=15100A 1.

Conclusion : l’aire latérale du cylindre de révolution dépasse bien de 15 % celle de la boule.

Attention

Il est demandé de calculer l’aire latérale et non l’aire totale du cylindre !