I. Rappels de cours
Formules donnant les principaux volumes
Cube arête c 𝒱 = c3 |
Parallélépipède rectangle longueur L, largeur l, hauteur h 𝒱 = L×l×h |
Prisme droit base d’aire B, hauteur h 𝒱 = B×h |
Cylindre de révolution base de rayon r, hauteur h 𝒱 = π×r2×h |
Pyramide ou cône de révolution base d’aire B, hauteur h 𝒱 = 13×B×h |
Boule (ou sphère) rayon r 𝒱 = 43×π×r3 |
II. Méthodes
1) Trouver une relation entre deux rayons
On considère une boule de rayon R et un cône de révolution dont la base a pour rayon x et dont la hauteur mesure R.
a. Exprimer les volumes de la boule et du cône.
b. Sachant que la boule et le cône ont le même volume, calculer, en fonction de R, le rayon x de la base du cône.
Solution
a. Le volume de la boule est : V1=43×π×R3.
Le volume du cône est : V2=13×(π×x2)×R.
b. Les deux solides ayant même volume, nous avons donc : V1=V2, soit 13×(π×x2)×R=43×π×R3.
Donc 13×π×R×(x2)=13×π×R×(4R2).
En simplifiant, nous obtenons : x2=4R2.
Comme x et R sont des longueurs, ce sont des nombres positifs et nous avons : x=2R.
2) Calculer le volume d’un seau
Un seau a la forme d’un tronc de cône.
Les deux bases circulaires sont parallèles et ont pour diamètres [AB] et [A′ B′ ] et pour centres respectifs O et O′ . On donne AB=12 cm, SO=24 cm et SO′ =8 cm.
a. Calculer la longueur du segment [O′ A′ ].
b. Calculer le volume V du seau à 1 cm3 près.
Conseils
a. Applique le théorème de Thalès pour trouve la distance OA.
b. Calcule le volume des deux cônes de sommet S, puis déduis-en le volume du tronc de cône.
Solution
a. Les rayons [OA] et [O′ A′ ] sont parallèles, on peut donc appliquer le théorème de Thalès. On obtient : O′ A′ OA=SO′ SO.
Comme OA=AB2=122 = 6, nous avons O′ A′ 6=824, soit O′ A′ =8×624 ou encore O′ A′ =2 cm.
b.V=13×π×OA2×SO−13×π×O′ A′ 2×SO′
V=13×π×62×24−13×π×22×8
V=8323π, soit V=871 cm3 à 1 cm3 près.