Légende de la leçon
Vert : définitions
I. Rappels de cours
1) Nombres entiers, décimaux et rationnels
Un nombre entier est un nombre qui s’écrit sans décimales.
Un nombre décimal est un nombre qui s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Un nombre rationnel (ou fraction) est un nombre qui peut s’écrire sous la forme ab, où a et b sont des nombres entiers et b≠0.
Les nombres rationnels dont le dénominateur est 10, 100, 1 000… sont appelés des fractions décimales.
Exemples :
78 − 613 et 517 sont des nombres rationnels.
3410 51 000 et − 51100 sont des fractions décimales.
Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut pas être simplifiée.
À noter
Tous les nombres ne sont pas rationnels ! Les nombres irrationnels sont les nombres que l’on ne peut pas écrire sous la forme d’une fraction, par exemple 2 et π.
Exemples : 511 est une fraction irréductible. En revanche, 1533 n’est pas une fraction irréductible (car 1533=3×53×11=511).
2) Puissances et racine carrée
Soient a un nombre non nul et n un entier naturel positif.
Le produit de n facteurs égaux à a se note an (on dit « a puissance n ») :
an=a×a×…×a︸n fois
a−n est l’inverse de an. Donc a−n=1an.
Exemples : 103=10×10×10=1 000 ; 53=5×5×5=125 ; 10−2=1102=1100=0,01.
Soit a un nombre positif. La racine carrée du nombre a est le nombre positif dont le carré est égal à a. On le note a.
Exemples : 25=5 ; 56,25=7,5.
3) Notation scientifique
Tout nombre positif x peut s’écrire sous la forme : x=a×10n
où 1≤a<10 et n est un entier relatif.
Exemples :
2,7512×102 est l’écriture scientifique de 275,12.
5,4×10−3 est l’écriture scientifique de 0,0054.
II. Méthodes
1) Écrire des nombres en notation scientifique
Écrire C=0,00000543 D=432,65 et E=21,65×103 en notation scientifique.
Solution
C=5,431 000 000=5,43106, soit C=5,43×10−6 (rappel 110n=10−n).
De même, D=4,3265×102 et E=2,165×104.
2) Passer d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire, et inversement
a. Soit A=74. Donner une écriture décimale de A.
b. Soit B=2,3. Donner une écriture fractionnaire de B.
c. Soit C=113. Donner une écriture décimale de C.
Solution
a. A = 1,75. b. B = 2310.
c. C=113≈3,66666... Le nombre de chiffres après la virgule n’est pas fini, donc C n’a pas d’écriture décimale.
3) Utiliser des puissances de 10
La distance de la Terre à la Lune est environ égale à d1=384 000 km et celle de la Terre au Soleil à environ d2=149 600 000 km.
Donner l’écriture scientifique de ces deux distances.
Solution
d1=3,84×105 km et d2=1,496×108 km.