Appliquer et calculer des pourcentages

I. Rappels de cours

1) Augmenter ou diminuer une quantité de n %

Soit $Q$ une quantité.

 Une augmentation de $n\,\%$ de la quantité $Q$ correspond à une augmentation de $n100 \times Q$. La quantité augmentée vaut alors :

$Q'=Q+n100 \times Q$ou encore $Q'=Q(1+n100)$

 Une diminution de $n \%$ de la quantité $Q$ correspond à une diminution de $n100 \times Q$. La quantité diminuée vaut alors :

$$Q''=Q-n100 \times Q$ou encore$Q''=Q(1-n100)$$

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2) Calculer un pourcentage d’augmentation

Soit $Q$ une quantité. Après une augmentation, cette quantité devient égale à $Q1$. Le pourcentage $n$ de cette augmentation est égal à $n=Q1-QQ\times 100$.

Remarque

Pour obtenir un pourcentage de diminution de la quantité diminuée Q2, on calcule $Q-Q2Q \times 100$.

II. Méthodes

1) Appliquer un pourcentage d’augmentation

Pour aller en automobile d’une ville V1 à une ville V2, il existe deux possibilités : la route nationale et l’autoroute. La longueur du trajet par la route nationale est de 450 km. Le trajet par autoroute est plus long de 12,5 %. Calculer la longueur du trajet par autoroute.

Conseils

Applique la formule $Q'=Q+n100 \times Q=Q(1+n100)$.

Solution

Notons d1 la distance à parcourir pour aller de V1 à V2 par la route nationale et d2 la distance à parcourir pour aller de V1 à V2 par l’autoroute. Nous avons $d1=450$ km.

Alors $d2=d1+12,5100 \times d1$ ou encore $d2=d1(1+12,5100)$, soit $d2=506,25$ km.

2) Appliquer un pourcentage de diminution

On applique une baisse de $25\%$ au prix d’un vêtement coûtant 155 euros. Combien coûte ce vêtement désormais ?

Solution

Notons $p1$ le prix du vêtement avant la baisse et $p2$ le nouveau prix. Nous avons $p1=155$ euros.

Alors $p2=p1-25~100 \times p1$ ou encore $p2=p1(1-25~100)$, soit $p2=116,25$ euros.

3) Appliquer des pourcentages successifs

Un objet coûte 100 euros au 1/1/2012.

Il augmente de $5\%$ au 1/1/2013.

Ce dernier prix est diminué de 5 % au 1/1/2014.

Le prix de l’objet est-il revenu à sa valeur du 1/1/2012 ?

Si non, calculer le pourcentage de différence entre le premier et le dernier prix.

Solution

• Notons $p1$, $p2$ et $p3$ les prix respectifs de cet objet au 1/1/2012, au 1/1/2013 et au 1/1/2014. Nous avons donc :

$p2=100 \times (1+5~100)=105$ euros 
et $p3=105 \times (1-5~100)=99,75$ euros.

Conclusion : au 1/1/2014, l’objet coûte moins cher qu’au 1/1/2012.

• Notons n le pourcentage de diminution recherché.

Nous avons : $n=p1-p3p1 \times 100$, soit $n=100-99,75100 \times 100$ ou encore $n= 0,25\%$.