Calculs de probabilités - Mathématiques - 3ème

Calculs de probabilités - Mathématiques - 3ème

Découvrez ce cours de mathématiques de niveau troisème sur les calculs de probabilités.

Dans cette fiche de maths, vous débuterez avec une présentation de la notion de probabilités. Puis vous découvrirez du vocabulaire spécifique à ce thème. Ensuite, vous trouverez une partie intitulée des fréquences aux probabilités. Puis, vous poursuivrez avec des propriétés et enfin une expérience aléatoire à deux épreuves.

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Présentation

Nous allons aborder dans ce chapitre un nouveau thème que tu n’as pas encore vu dans ta scolarité : les probabilités. Il s’agit de déterminer « les chances » qu’une situation se produise. Cette notion fait intervenir la notion de hasard et de nombreux mathématiciens se sont intéressés à ce domaine en particulier pour étudier les jeux de hasard.

La notion de probabilité apparaît régulièrement directement ou indirectement dans la vie quotidienne. C’est notamment le cas quand on doit faire un choix ou encore dans les essais cliniques.

Ce chapitre s’appuie sur le travail qui a été fait précédemment en statistique sur les fréquences. Avoir bien compris cette notion pourra être particulièrement utile pour démarrer. Les raisonnements et calculs faits dans ce chapitre ne s’appuieront ensuite que sur le contenu vu en cours cette année. 

Il faudra bien retenir le vocabulaire et propriétés vues en 3ème car cette notion reviendra régulièrement au lycée et apparaît de manière systématique dans les sujets d’examens.

Un peu de vocabulaire

Définition 

Une expérience est dite aléatoire si tous les résultats possibles sont déterminés mais il est impossible de prévoir à l’avance avec certitude lequel se produira.

Exemples :

 

  • Tirer au hasard une carte d’un jeu de cartes ;
  • Lancer un dé non truqué ;
  • Choisir une boule dans une urne opaque.

 

Définition 

Les résultats d’une expérience aléatoire sont appelés des issues.

Exemples :

 

  • Quand on lance une pièce il y a deux issues :  Pile et Face ;
  • Lors d’un lancer de dé cubique il y a six issues : obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 ;

 

Définition

L’ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers. On le note souvent Ω.

Exemples :

 

  • Lors d’un lancer de dé cubique, l’univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
  • Lors d’un lancer de pièce l’univers est Ω = {Pile, Face}.

 

Définition

On appelle événement un ensemble de résultats possibles (ou non) d’une expérience aléatoire.

On parle d’événement élémentaire s’il n’est réalisé que par une seule issue.

Exemples :

 

  • On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. « Tirer un carte rouge », « Tirer un roi », « Ne pas tirer une figure » sont des événements.
  • On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. « Obtenir un nombre pair », « obtenir le chiffre 7 » sont des événements. Le dernier événement a la particularité de ne jamais se réaliser
  • On lance une pièce. « Obtenir Pile » et « Obtenir Face » sont des événements élémentaires.

 

Des fréquences aux probabilités

On considère l’expérience aléatoire suivante : On lance 1 000 fois un dé équilibré à 6 faces et on note les faces obtenues.

On a synthétisé les résultats dans le tableau suivant :

Tableau probabilités

On obtient les fréquences en divisant l’effectif d’une valeur par l’effectif total.

Par exemple, pour la face 1 la fréquence est 166/1000 = 0,166 = 16,6%

Si on répète un plus grand nombre de fois cette expérience on va constater que les fréquences de chacune des faces vont se stabiliser autour de la valeur 16,666…%

Définition

Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un événement se rapproche d’une valeur théorique qu’on appellera probabilité de cet événement.

Exemples :

 

  • Dans l’exemple pris en introduction de cette partie, la probabilité d’obtenir chacune des faces du dé est 1/6
  • Si on lance une pièce équilibrée, la probabilité d’obtenir Face vaut 1/2

 

Définition

Un événement est dit certain s’il se réalise toujours. Sa probabilité vaut alors 1.

Exemple : 

Si on choisit une carte dans un jeu, l’événement « Obtenir une carte rouge ou noire » est certain.

Définition

Un événement est dit impossible s’il ne se réalise jamais. Sa probabilité vaut alors 0.

Exemple : 

Si on lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 alors l’événement « Obtenir le numéro 7 » est impossible.

Définition

On dit qu’on est dans une situation d’équiprobabilité si toutes les événements élémentaires ont la même probabilité.

Exemple :

Si on lance un dé équilibré à 6 faces alors toutes les faces ont la même probabilité d’être obtenue et la probabilité associée à chacun des événements élémentaires est 1/6.

Propriété

Dans une situation d’équiprobabilité possédant n issues la probabilité de chacun des événements élémentaires est égale à 1/n.

Exemple : 

Si on lance une pièce équilibrée, il n’y a que 2 issues « Pile » et « Face ». La probabilité de chacun des événements « obtenir Pile » et « obtenir Face » est égale à 1/2.

Propriété

Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est donnée par la formule : Probabilité d'un évènement

Exemple : 

On tire une carte d’un jeu de 32 cartes et on considère l’événement A : « la carte choisie est un roi ».

Parmi les 32 cartes du jeu il y a 4 rois donc p(A) = 4/32 = 1/8.

Des propriétés

Propriété

On considère un événement A d’une expérience aléatoire alors 0 ≤ p(A) ≤ 1.

Remarque : Plus la probabilité d’un événement est grande, plus les chances que cet événement se réalise sont importantes. Pour autant, tant que l’événement n’est pas certain, il peut ne pas se produire.

Définition

Dans une expérience aléatoire, on considère un événement A. On appelle événement contraire de A, l’événement noté  constitué de toutes les issues de l’univers n’appartenant pas à A.

Exemple :

On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 et on considère l’événement A « obtenir les faces numérotées 1 ou 2 » alors probabilitéest l’événement « obtenir les faces numérotées 3, 4, 5 ou 6 ».

Propriété

Pour tout événement A on a p(probabilité)= 1 – p(A).

Exemple : 

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on appelle A l’événement « la carte tirée est un roi ». L’événement probabilitéest donc « la carte tirée n’est pas un roi ».

On a vu, dans un exemple précédent, que p(A) = 1/8 par conséquent p(probabilité) = 1 - 1/8 = 7/8.

Définition

Dans une expérience aléatoire, deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints s’ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Exemple :

Si on tire au hasard une carte d’un jeu alors les événements « la carte tirée est un roi » et « la carte tirée n’est pas une figure » sont incompatibles.

Propriété

 Si A et B sont deux événements incompatibles d’une même expérience aléatoire alors p(A ou B) = p(A) + p(B) qu’on note également p(A ∪ B) = p(A) + p(B).

Remarque : le symbole ∪ se lit « union ».

Exemple :

On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes et on appelle A l’événement « la carte choisie est un as » et B l’événement « la carte choisie est un 10 ».

Ces deux événements sont incompatibles. L’événement A ou B correspond à « la carte choisie est un as ou un 10 » et p(A ou B) = p(A) + p(B) = 1/8 + 1/8 = 1/4.

Expérience aléatoire à deux épreuves

On considère l’expérience suivante :

Dans un sac, il y a 7 jetons jaunes et 3 jetons rouges. On tire au hasard un jeton du sac, on note sa couleur, on remet le jeton dans le sac et on tire un nouveau jeton.

On appelle J l’événement « le jeton tiré est jaune » et R l’événement « le jeton tiré est rouge ».

Ainsi lors du premier tirage, on a p(J) = 7/10 = 0,7 et p(R) = 0,3.

On retrouve les mêmes probabilités lors du second tirage.

Pour synthétiser ces résultats on utilise très souvent un arbre de probabilité (appelé aussi arbre pondéré)

arbre pondéré

Propriété

Dans un arbre de probabilité, la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités des chemins qui conduisent à cette issue.

Exemple : 

On souhaite déterminer la probabilité de tirer deux jetons jaunes (appelons JJ cet événement).

arbre de probabilité

Remarques : 

 

  • On peut construire des arbres de probabilité pour 1, 2, 3, … tirages
  • Les différents tirages peuvent être différents

 

Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

Arragon
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20/20

C'est au brevet 2017 ? Pourtant je l'ai pas encore vu...

par - le 18/03/2017

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