Comment faire pour ... Appliquer la contraposée du théorème de Pythagore

Comment faire pour ... Appliquer la contraposée du théorème de Pythagore

Retrouve le cours de mathématiques 3ème sur l'application de la contraposée du Théorème de Pythagore avec digiSchool ! Chapitre "Les Triangles".

Dans cette leçon nous récapitulerons tout ce qu'il faut savoir sur la contraposée du Théorème de Pythagore, et ce qu'il faut savoir faire ! 

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Comment faire pour ... Appliquer la contraposée du théorème de Pythagore

Le contenu du document

Cette fiche te permet de découvrir et maîtriser la contraposée du théorème de Pythagore ! Tu découvriras ce qu’il faut savoir, ce qu’il faut savoir faire, puis un exercice te permettra de t’entraîner.

Prérequis

  • Maîtriser le calcul littéral

Objectifs

  • Savoir démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle d’après la contraposée du théorème de Pythagore.

I. Ce qu'il faut connaître

PROPRIÉTÉS : Hypoténuse. Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est son plus grand côté.

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CONTRAPOSÉE : Contraposée du théorème de Pythagore. Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.

Dans la pratique, on retient cette propriété sous la forme :

Si, dans un triangle ABC de plus grand côté BC, on a BC2  ≠  BA2  ≠ AC2  ,alors le triangle ABC n’est pas rectangle.

 

Ainsi, la contraposée du théorème de Pythagore sert à démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle.

Pour utiliser la contraposée du théorème de Pythagore, il faut connaître les mesures des trois côtés du triangle.

Pour appliquer la contraposée du théorème du théorème de Pythagore, on calcule :

  • d’une part, le carré de la longueur du plus grand côté
  • d’autre part, la somme des carrés des deux autres côtés

On compare alors les résultats obtenus et on conclut.

Le mot « contraposée » n’est pas exigé au collège. Vous pouvez dire « d’après le théorème de Pythagore ». Dans la suite de cette fiche, nous continuerons d’utiliser la dénomination « contraposée de Pythagore » pour distinguer le « choses » et éviter les confusions.

II. Ce qu'il faut savoir

L’objectif de cette fiche est d’apprendre à bien comprendre, à bien utiliser et surtout à bien rédiger la contraposée du théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle.

Soyez rigoureux, avec un peu d’entraînement, c’est une notion très abordable.

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On connaît les 3 côtés du triangle. Le plus grand côté́ est HL = 11. On va donc calculer séparément HL2 et HK2 + KL2 puis les comparer.

On rédige tout cela ainsi :
Dans le triangle HKL, le plus grand côté est HL.

D’une part, HL2 = 112 = 121

D’autre part, HK2 + KL2 = 92 + 72 = 81 + 49 = 130

Donc HL2 ≠ HK2 + KL2

Donc le triangle HKL n’est pas rectangle, d’après la contraposée du théorème de Pythagore.

 

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Ici, on ne peut pas savoir, au départ, si on va utiliser la contraposée ou la réciproque de Pythagore. Peu importe car le raisonnement reste le même au départ.

On connaît les trois côtés du triangle et MP est le plus grand côté. On va calculer séparément MP2 puis MN2 + NP2, et on comparera les deux résultats obtenus.

 

S’ils sont égaux, alors on utilisera la réciproque de Pythagore pour conclure que MNP est rectangle. S’ils sont différents, on utilisera la contraposée de Pythagore pour conclure que MNP n’est pas rectangle.

 

On rédige tout cela ainsi :

Dans le triangle MNP, le plus grand côté est MP.

D’une part, MP2 = 11,52 = 132,25

D’autre part, MN2 + NP2 = 10,52 + 4,52 = 130,5

Donc, MP2 ≠ MN2 + NP2

Donc le triangle MNP n’est pas rectangle d’après la contraposée de Pythagore.

 

 

III. À vous maintenant !

Prenez votre temps, aidez-vous des exemples précédents si besoin.

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Correction :

Dans le triangle EFG, le plus grand côté est FG.

D’une part, FG2 = 82 = 64

D’autre part, FE2 + EG2 = 62 + 52 = 36 + 25 = 61

Donc FG2 ≠ FE2 + EG2

Donc EFG n’est pas rectangle d’après la contraposée du théorème de Pythagore.

Fin de l'extrait

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