Correction Mathématiques - Session de Remplacement - Brevet 2017

Correction Mathématiques - Session de Remplacement - Brevet 2017

Découvrez la correction de l'épreuve de maths de la session de remplacement du Brevet des Collèges 2017 proposée par notre professeur.

Cette épreuve comportait 7 exercices sur les thèmes principaux du programme de mathématiques de 3ème. Parmi les notions présentes on trouvait par exemple : les probabilités, les théorèmes de Thalès et Pythagore, la programmation, les aires et volumes, et les équations.

Téléchargez gratuitement ci-dessous le corrigé de mathématiques de la session de remplacement du Brevet 2017.

Correction Mathématiques - Session de Remplacement - Brevet 2017

Le contenu du document


 

La thématique commune de l’épreuve de sciences était l’eau, principalement abordée :

- Dans l’exercice 6 avec la fabrication de neige artificielle une station de ski.

- Puis dans l’exercice 7 à travers le traitement de l’eau et l’étude d’une colonie de légionelles (bactéries présentes dans l’eau potable). 

 

Rappel : 

45 points sont attribués à la résolution des exercices et 5 points accordés à la présentation de la copie.

 

tableau barème

 

Première lecture du sujet ~ 15 min

Au début de l’épreuve, cette lecture est importante et doit vous permettre de :

- Repérez les notions clés pour la résolution des exercices

- Identifiez les exercices les plus faciles pour vous

- Fixez-vous des objectif temps à consacrer à chaque exercice (voir le tableau ci-dessus)

 

Pendant l’épreuve

Commencez par les exercices qui vous semblent les plus faciles

Soignez votre présentation (vous pouvez utiliser une copie par exercice)

Numérotez les questions traitées

Justifiez vos réponses (sauf indication contraire dans l’énoncé)

Laissez des traces de recherche et expliquez ce que vous faites, même si vous n’y arrivez pas

Pensez à utiliser des résultats des questions précédentes que vous n’avez pas su démonter.

 

Relecture et Vérification ~ 15 min

A la fin de l’épreuve, réservez du temps pour relire votre travail :

Encadrez vos résultats, corrigez les fautes d’orthographe, 

Vérifiez que vous n’avez rien omis (des blancs non complétés, etc.)

Numérotez vos copies

 

Exercice 1

 

Un sac opaque contient 120 boules toutes indiscernables au toucher, dont 30 sont bleues. Les autres boules sont rouges ou vertes. On considère l’expérience aléatoire suivante :  On tire une boule au hasard, on regarde sa couleur, on repose la boule dans le sac et on mélange.  

 

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ? Écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

La probabilité de tirer une boule bleue est 

 

 

2. Cécile a effectué 20 fois cette expérience aléatoire et elle a obtenu 8 fois une boule verte. Choisir, parmi les réponses suivantes, le nombre de boules vertes contenues dans le sac (aucune justification n’est demandée) : a. 48, b. 70, c. On ne peut pas savoir, d. 25.

Cécile a effectué 20 fois cette expérience aléatoire et elle a obtenu 8 fois une boule verte. 

On ne peut pas savoir le nombre de boules vertes contenues dans le sac.

Rappel : dans cette question aucune justification n’était demandée.

On nous donne ici la fréquence d’apparition de boules vertes. A chaque expérience, Cécile tire au hasard une boule et la remet le sac. Donc il est possible qu’elle ait tiré plusieurs fois « la même » boule verte. On ne peut donc pas en déduire le nombre de boules vertes présentes dans le sac.

 

3. La probabilité de tirer une boule rouge est égale à 0,4. 

a. Quel est le nombre de boules rouges dans le sac ? 

b. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?

 

Soit PR La probabilité de tirer une boule rouge. 

a. On sait que PR = 0,4 d'où :

 

 

Il y a 48 boules rouges dans le sac.

 

b. Commençons par déterminer le nombre de boules vertes dans le sac.

 

Nb Vertes = Nb Total de boules - Nb bleues - Nb rouges = 120 - 30 - 48 = 42

 

On en déduit que la probabilité de tirer une boule verte est : 

 

 

Exercice 2

 

figure exercice 2

 

Les points D, F, A et B sont alignés, ainsi que les points E, G, A et C. De plus, les droites (DE) et (FG) sont parallèles. 

1. Montrer que le triangle AFG est un triangle rectangle.

D'une part AG2 + GF2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25

D'autre part AF2 = 52 = 25

AG2 + GF2 = AF2

Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AFG est rectangle en G.

 

2. Calculer la longueur du segment [AD]. En déduire la longueur du segment [FD]

Calcul de la longueur du segment [AD] :

Les points D, F et A sont alignés dans le même ordre que les points E, G et A. De plus, les droites (DE) et (FG) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès :

 

 

On sait que AD = AF + FD, on en déduit la longueur du segment [FD] :  

FD = AD - AF = 13,5 - 5

FD = 8,5 cm

 

3. Les droites (FG) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.

Les points F, A et B sont alignés dans le même ordre que les points G, A et C. 

De plus, AF/AB = 5/6,25 = 0,8 et AG/AC = 4/5 = 0,8.

Donc AF/AB = AG/AC

Par la réciproque du théorème de Thalès, on peut conclure que les droites (FG) et (BC) sont parallèles.

 

Exercice 3

 

1. a. Dessiner la figure obtenue avec le bloc « un tour » donné dans le cadre de droite ci-dessus, pour une longueur de départ égale à 30, étant orienté vers la droite avec le stylo, en début de tracé. On prendra 1 cm pour 30 unités de longueur, c’est-à-dire 30 pixels.

Ci-dessous la figure obtenue avec le bloc « un tour ». 

En début de tracé, on s’oriente vers la droite avec le stylo. La longueur de départ est égale à 30. On prend 1 cm pour 30 pixels. 

 

 

b. Comment est-on orienté avec le stylo après ce tracé ? (aucune justification n’est demandée)

Après ce tracé, on est orienté vers la droite (flèche verte sur l’image). 

 

2. Laquelle des figures 1 ou 3 le programme ci-dessus permet-il d’obtenir ? Justifier votre réponse

 

 

Le programme permet ainsi d’obtenir la figures 3.

 

3. Quelle modification faut-il apporter au bloc « un tour » pour obtenir la figure 2 ci-dessus ?

Pour obtenir la figure 2, il suffit de modifier l’orientation. Dans le bloc « un tour »,

On remplace « 90 » degrés par « 45 » degrés.

 

 

Exercice 4

 

 

1. a. En remarquant que la longueur GD est égale à 7m, déterminer l’aire du triangle BCH.

On remarque facilement que la longueur GD est égale à 7m car 

GD = GF + FE + ED = 1 + 1 + 5 = 7m

 

Comme AGDH est un rectangle, les côtés [AH] et [GD] ont la même longueur, c’est-à-dire 

AH = 7m et AH = AB + BH

d'où BH = AH - AB = 7 - 4 = 3 m

DE même DH = DC + CH, or DH = GA = 5m

d'où CH = DH - DC = 5 - 3 = 2m

 

On en déduit l’aire du triangle BCH :  

 

 

b. Montrer que l’aire de la pièce est 32 m2

Calculons l’aire de la pièce :

 

 

L’aire de la pièce est 32 m2.

 

2. Pour ne pas manquer de carrelage ni de colle, le vendeur conseille à monsieur Chapuis de prévoir une aire supérieure de 10 % à l’aire calculée à la question 1. Monsieur Chapuis doit acheter des boîtes entières et des sacs entiers. Déterminer le nombre de boîtes de carrelage et le nombre de sacs de colle à acheter.  

 

Pour ne pas manquer de carrelage ni de colle, le vendeur conseille à monsieur Chapuis de prévoir une aire supérieure de 10 % à l’aire calculée à la question 1. 

 

 

Calcul du nombre de boîtes de carrelage 

D’après le document 2, chaque boite de carrelage permet de recouvrir 1,25 m2.

 

 

 

Monsieur Chapuis doit acheter 29 boites de carrelage et 9 sacs de colle.

 

3. Le vendeur recommande aussi de prendre une marge de 10% sur la longueur des plinthes. Déterminer le nombre total de plinthes que monsieur Chapuis doit acheter pour faire le tour de la pièce. On précise qu’il n’y a pas de plinthe sur la porte.

Le vendeur recommande aussi de prendre une marge de 10% sur la longueur des plinthes.

 

 

La longueur de plinthe à prévoir est alors :   

P = Longueurplinthe x (1 + 10/100)

Avec :

 

 

D’après le document 2, chaque plinthe a 1m de longueur. 

Pour faire le tour de la pièce, monsieur Chapuis doit donc acheter 24 plinthes. 

 

4. Quel est le montant de la dépense de monsieur Chapuis, sachant qu’il peut se contenter d’un paquet de clous ? Arrondir la réponse à l’euro près.

Sachant que monsieur Chapuis peut se contenter d’un paquet de clous : 

 

Exercice 5

 

 

  • Affirmation 1 : Vrai

 

 

 

Le programme peut s’écrire à l’aide de l’expression suivante : A = 2(x+3)-2x

En développant et en réduisant cette expression on obtient : 

A = 2(x+3)-2x = 2x+6-2x = 6

Donc le résultat du programme de calcul A est toujours égal à 6.

 

 

  • Affirmation 2 : Faux

 

 

 

 

  • Affirmation 3 : Vrai

 

Résolvons la première équation :

 

 

L’équation admet pour unique solution x = 2

Pour savoir si 2 est une solution de l’équation x2-2x = 0 :

 

 

La solution de l’équation 4x-5 = x+1 est une solution de l'équation x2-2x = 0

 

 

  • Affirmation 4 : Faux 

 

Pour n = 2 : 22-2 = 4-1 = 3

Pour n = 3 : 23-1 = 8-1 = 7

Pour n = 4 : 24-1 = 16-1 = 15

 

Or 15 n’est pas premier car divisible par 3 et par 5

Pour tous les nombres entiers n compris entre 2 et 9, 2n-1 n’est pas toujours un nombre premier.

 

Exercice 6

 

Dans une station de ski, les responsables doivent enneiger la piste de slalom avec de la neige artificielle. La neige artificielle est produite à l’aide de canons à neige. 

La piste est modélisée par un rectangle dont la largeur est 25m et la longueur est 480m.

Chaque canon à neige utilise 1m3 d’eau pour produire 2m3 de neige. Débit de production de neige : 30m3 par heure et par canon

1. Pour préparer correctement la piste de slalom, on souhaite produire une couche de neige artificielle de 40cm d’épaisseur. Quel volume de neige doit-on produire ? Quel sera le volume d’eau utilisé ?

Pour préparer correctement la piste de slalom, on souhaite produire une couche de neige artificielle de 40cm d’épaisseur, soit 0,4m

Le volume de neige à produire est alors :

Vneige = longueur x largeur x hauteur

= 480 x 25 x 0,4 = 4800 m3

 

 

2. Sur cette piste de ski, il y a 7 canons à neige qui produisent tous le même volume de neige. Déterminer la durée nécessaire de fonctionnement des canons à neige pour produire les 4 800m3 de neige souhaités. Donner le résultat à l’heure près.

Sur cette piste de ski, il y a 7 canons à neige qui produisent tous le même volume de neige.  

Méthode 1 :

Le débit de production de neige étant 30m3 par heure et par canon, les 7 cannons produisent par heure : 7 x 30m3 = 210m3

Pour produire les 4800m3 de neige souhaités, la durée nécessaire est :

Durée = volume total à produire/débit horaire des 7 canons = 4800/210 ≈ 22,8571 ≈ 23h (àl'heure près)

 

Méthode 2 :

 

Chaque canon doit produire : 4800/7 ≈ 685,71m3 de neige.

Le débit  d'un canon étant de 30m3 par heure, la durée nécessaire est :

durée = volume par canon/débit horaire par canon = 685,71/30 ≈ 22,857 ≈ 23h

 

Exercice 7

 

Les légionelles sont des bactéries présentes dans l’eau potable. Lorsque la température de l’eau est comprise entre 30°C et 45°C, ces bactéries prolifèrent et peuvent atteindre, en 2 ou 3 jours, des concentrations dangereuses pour l’homme.  

On rappelle que « μm » est l’abréviation de micromètre. 

 

1. La taille d’une bactérie légionelle est 0,8 μm. Exprimer cette taille en m et donner le résultat sous la forme d’une écriture scientifique.

On sait qu’un micromètre est égal à un millionième de mètre c.-à-d. 1 μm = 10-6m

Donc en mètres, la taille d’une bactérie légionelle est :

0,8 μm = 0,8 x 10-6m = 8 x 10-5m

 

2. Lorsque la température de l’eau est 37°C, cette population de bactéries légionelles double tous les quarts d’heure. Une population de 100 bactéries légionelles est placée dans ces conditions. On a créé la feuille de calcul suivante qui permet de donner le nombre de bactéries légionelles en fonction du nombre de quarts d’heure écoulés :  

 

a. Dans la cellule B3, on veut saisir une formule que l’on pourra étirer vers le bas dans la colonne B pour calculer le nombre de bactéries légionelles correspondant au nombre de quarts d’heure écoulés. Quelle est cette formule ?

Pour calculer le nombre de bactéries légionelles correspondant au nombre de quarts d’heure écoulés, la formule à saisir dans la cellule B3 est :

=2*B2    ou  =2^A3*$B$2

 

b. Quel est le nombre de bactéries légionelles au bout d’une heure ?

Au bout d’une heure, soit 4 quarts d’heure on obtient 1600 bactéries.  

 

c. Le nombre de bactéries légionelles est-il proportionnel au temps écoulé ?

Le nombre de bactéries légionelles n’est pas proportionnel au temps écoulé.

 

d. Après combien de quarts d’heure cette population dépasse-t-elle dix mille bactéries légionelles ?  

La population dépasse dix mille bactéries légionelles après 7 quarts d’heure.

Elle atteint alors un effectif de 12800 bactéries.

 

 

3. On souhaite tester l’efficacité d’un antibiotique pour lutter contre la bactérie légionelle. On introduit l’antibiotique dans un récipient qui contient 104 bactéries légionelles au temps t = 0. La représentation graphique, sur l’annexe p.7, à rendre avec la copie, donne le nombre de bactéries dans le récipient en fonction du temps.  

 

a. Au bout de 3 heures, combien reste-t-il environ de bactéries légionelles dans le récipient ?

Au bout de 3 heures, il reste environ 5000 bactéries légionelles dans le récipient.

 

b. Au bout de combien de temps environ reste-t-il 6000 bactéries légionelles dans le récipient ?

Il reste 6000 bactéries dans le récipient au bout d’environ 2 heures (plus précisément 2 heures et quart)

 

c. On estime qu’un antibiotique sera efficace sur l’être humain s’il parvient à réduire de 80% le nombre initial de bactéries dans le récipient en moins de 5 heures. En s’aidant du graphique, étudier l’efficacité de l’antibiotique testé sur l’être humain.

On estime qu’un antibiotique sera efficace sur l’être humain s’il parvient à réduire de 80% le nombre initial de bactéries dans le récipient en moins de 5 heures. 

Ici, l’antibiotique sera efficace s’il élimine 8000 bactéries. Il devrait donc en rester 2000 dans le récipient.

Or d’après le graphique, au bout de 5 heures, le récipient contient encore plus de 2000 bactéries. L’antibiotique testé n’est donc pas efficace.

 

Fin de l'extrait

Vous devez être connecté pour pouvoir lire la suite

Télécharger ce document gratuitement

Donne ton avis !

Rédige ton avis

Votre commentaire est en attente de validation. Il s'affichera dès qu'un membre de Brevet le validera.
Attention, les commentaires doivent avoir un minimum de 50 caractères !
Vous devez donner une note pour valider votre avis.

Vous devez être membre de digiSchool Brevet

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Mot de passe oublié ?