Division euclidienne et divisibilité - Mathématiques - 3ème

Division euclidienne et divisibilité - Mathématiques - 3ème

Voici un cours de maths de niveau troisième sur la division euclidienne et la divisibilité.

Dans cette fiche de mathématiques, vous commencerez pas une petite présentation. Puis, vous rentrerez dans le vif du sujet avec une partie sur la division euclidienne. La troisième partie concernera la divisibilité et la quatrième partie les critères de divisibilité. 

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Présentation

La division euclidienne a été vue à l’école primaire et revue en début de collège. C’est une opération très importante en arithmétique. Elle est à base de toute une branche des mathématiques. Dans ce chapitre, on va donc revoir dans un premier temps cette opération puis parler de multiples et diviseurs d’un nombre entier et enfin rappeler certains critères de divisibilité.

La seule chose à savoir pour aborder ce chapitre est de bien savoir compter.

Tu retrouveras ce chapitre en terminale scientifique dans l’enseignement de spécialité.

 

Division euclidienne

Exemple

division euclidienne

Ce calcul correspond à la division euclidienne de 253 par 4.

  • 253 est appelé le dividende.
  • 4 est appelé le diviseur.
  • 1 est appelé le reste.
  • 63 est appelé le quotient.

 

Dans une division euclidienne, le reste est toujours strictement inférieur au diviseur. Il en est de même des « restes intermédiaires » qui apparaissent au fur et à mesure des différences réalisées.

Définition 

On considère deux entiers naturels a et b avec b non nul.

Effectuer la division euclidienne de a par b c’est trouver l’unique couple d’entiers naturels (q ; r) tel que :

a = b × q + r    et    0 ≤ r < b

En d’autres termes on a :

dividende = diviseur × quotient + reste     et  0 ≤ reste < diviseur

 

Divisibilité

Définition 

On considère deux entiers naturels a et b. 

On dit que b divise a si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0.

On dit alors que b est un diviseur de a ou que a est un multiple  de b.

Exemple

On sait que 125 = 5 × 25 

Donc :

  • 5 divise 125
  • 125 est un multiple de 5
  • 5 est un diviseur de 125
  • 25 divise 125
  • 125 est un multiple de 25
  • 25 est un diviseur de 125

 

Remarques  :

  • Tout entier naturel possède au moins un diviseur : le nombre 1.
  • Tout entier naturel non nul a possède une infinité de multiples : a, 2a, 3a, …
  • Tout entier naturel a supérieur ou égal à 2 possède au moins deux diviseurs : 1 et a.
  • Tout entier naturel a non nul possède un nombre fini de diviseurs.

 

 

Critères de divisibilité

  • Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair.
  • Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
  • Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même divisible par 4.
  • Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
  • Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 9.

 

Exemples

  • 124 est divisible par 2 car il est pair et est divisible par 4 car 24 est un multiple de 4.
  • 135 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5. Il est également divisible par 3 et 9 car la somme de ses chiffres est 1 + 3 + 5 = 9 qui est divisible par 3 et 9.

 

Remarque : 

Si un nombre est divisible par 2 et 3 alors il est également divisible par 2 × 3 = 6.

Exemple 

168 est divisible par 2 car il est pair. 

La somme de ses chiffres est 15 qui est divisible par 3. Donc 168 est divisible par 3.

Donc 168 est divisible par 6.

On vérifie : 168 = 6 × 28

Attention : cette remarque ne fonctionne pas avec tous les diviseurs.

Par exemple, 36 est divisible par 3 et 9 mais n’est pas divisible par 3 × 9 = 27.

Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

laurenne03
5 5 0
20/20

Pas assez d'explications et d"exemples pour moi c'est trop court malgré qu'on l'ai vu en classe

par - le 03/11/2017

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