Ecritures littérales, développement et factorisation

Ecritures littérales, développement et factorisation

Revoyez votre cours sur les écritures littérales et les techniques de développement et factorisation dans cette fiche de révision créée par notre professeur de mathématiques pour les candidats au Brevet.

Document rédigé par un prof Ecritures littérales, développement et factorisation

Le contenu du document

Les expressions littérales sont des expressions composées de lettres. On les qualifie d'indéterminées. Différents types de calculs sont possibles à faire sur ces expressions. On peut utiliser le développement, la factorisation, ou encore la réduction.

I - Transformation d'un produit en une somme ou une différence

Développer : nécessite d'avoir un produit :
k(a+b) = ka + kb ou (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
Le développement permet de transformer un produit en une somme ou une différence. Développer une expression nécessite d'avoir un produit. Différents cas sont possibles. Soit on distribue un facteur k aux différents termes d'une parenthèse. Soit on distribue les termes d'une parenthèse aux termes d'une seconde parenthèse.
Prenons comme exemple l'expression littérale 2x (x + 7).
Dans cette expression, on distribue le facteur k à chacun des termes de la parenthèse, c'est-à-dire x et 7. Il faut faire attention à l'opération entre les termes de l'expression (addition ou différence).
On obtient donc 2x (x + 7) = 2x (x) + 2x (7) = 2x² + 14x.
Prenons un autre exemple. Soit l'expression (x + 1) (4x + 5).
Dans cet exemple, il s'agit de distribuer les termes de la première parenthèse (x et 1) à chacun des termes de la deuxième parenthèse (4x et 5). De la même façon, il faut être vigilant à l'opération entre les quatre termes de l'expression. On obtient alors :
(x+1)(4x+5) = x(4x) + x(5) + 1(4x) + 1(5) = 4x² + 5x + 4x + 5 = 4x² + 9x + 5
Il faut rappeler que la multiplication est distributive sur l'addition et la soustraction. Cela signifie qu'un facteur se distribue à chacun des termes d'une expression et pas seulement à un seul terme.
De plus, les identités remarquables sont très souvent utilisées dans ce genre de développement. Il est donc important de les connaître par cœur.
Rappel des identités remarquables :
  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a - b)² = a² - 2ab + b²
  • (a + b) (a - b) = a² - b²

II - Transformation d'une somme ou d'une différence en un produit

Factoriser : nécessite d'avoir un facteur commun et ou une identité remarquable aux différents termes d'une somme ou d'une différence :
ka + kb = k(a+b)
La factorisation permet de transformer une somme ou une différence en un produit.
Factoriser nécessite donc d'avoir un facteur commun ou une identité remarquable commune aux différents termes d'une addition ou d'une soustraction.
Il est d'ailleurs parfois nécessaire de décomposer les termes pour faire apparaître le facteur commun.
Prenons comme exemple, l'expression littérale (x + 1) (3x + 2) + (x + 1) (5x - 1).
Pour factoriser cette expression, il faut identifier le facteur commun (x + 1) et mettre en facteur les différents termes (auxquels on a enlevé le facteur commun par division).
On identifie donc le facteur (x + 1) et on met en facteur (3x + 2) et (5x - 1). On obtient la factorisation suivante :
(x+1)(3x+2) + (x+1)(5x-1) = (x+1)((3x+2)+(5x-1)) = (x+1)(3x+2+5x-1) = (x+1)(8x+1)
Parfois le facteur commun est peu visible, comme dans l'exemple suivant :
(2x + 2) (3x + 2) + (x + 1) (5x - 1).
Dans un premier temps, il faut identifier le facteur commun (x + 1).
(2x + 2)(3x + 2) + (x + 1)(5x - 1) = 2(x + 1)(3x + 2) + (x + 1)(5x - 1)

III - Diminution du nombre d'opérations composant une expression et organisation des termes

Réduire et ordonner : nécessite d'avoir une somme ou une différence de différentes puissances de x :
15x - 7x² - 6 + 5x² - 2x = -7x² + 5x² + 15x - 2x - 6 = -2x² + 13x - 6
En général on ordonne les puissances dans l'ordre décroissant.
Enfin, réduire et ordonner revient à diminuer le nombre d'opérations composant une expression et à en organiser les termes.
Réduire et ordonner nécessite donc d'avoir une somme ou une différence composée de différentes puissances de x. Ce qui revient à regrouper, par ordre décroissant, les différentes puissances de l'indéterminée x.
Prenons comme exemple, l'expression 15x - 7x² - 6 + 5x² - 2x.
Une fois développée, il faudra regrouper les puissances identiques puis les ordonner dans l'ordre décroissant.
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

Yonshyu
5 5 0
20/20

Génial , une magnifique fiche de révision. très utile merci

par - le 01/05/2017
King95
4 5 0
16/20

Super fiche de révision mais vous pouvez mettre plus d'exemples.

par - le 13/04/2017
Arragon
4 5 0
16/20

Ce nouveau est-il adapté au brevet des collèges 2017 ? Je passe le brevet blanc dans 2 semaines et le brevet dans maintenant 3 mois. Il faudrait de préférence des cours mis à jour. Merci d'avance.

par - le 18/03/2017
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