Equations et inéquations du premier degré

Equations et inéquations du premier degré

Les equations du premier degré à une inconnue, c'est un peu la notion phare des mathématiques au Brevet. Tous les ans vous avez droit à un exercice dédié, c'est pourquoi notre professeur a créé cette fiche de révision pour vous rafraîchir la mémoire à l'approche de votre épreuve !

Equations et inéquations du premier degré

Le contenu du document

 

 

 

 

 

 

 

 

Présentation

Dans ce chapitre on va chercher à résoudre des équations et des inéquations simples. Elles sont souvent le résultat d’une mise en équation d’une situation concrète. Il s’agit donc de la dernière étape dans la résolution d’un problème.

Pour pouvoir résoudre des équations et des inéquations il est nécessaire de savoir manipuler des expressions littérales et d’avoir bien compris les nombres relatifs.

Dans cette fiche, on verra les méthodes de résolution au travers de différents exemples.

Au lycée, tu apprendras à résoudre d’autres types d’équations et d’inéquations. Il est donc important d’avoir bien compris les bases, présentées ici, pour pouvoir aborder ensuite des choses plus complexes.

Equations à une inconnue

C'est une égalité dont le nombre inconnu est symbolisé par une lettre.

En clair : 

5x + 4 = 8x + 3, ici le nombre inconnu est x.

Résoudre ce type d'équation revient à chercher toutes les valeurs possibles de x qui vérifient l'égalité. Ainsi, chacune de ces valeurs sera une solution de l'équation.

En clair :

x - 5 = 6

x = 11 car 11 - 5 = 6

Que l'on ajoute ou retranche un même nombre aux deux membres d'une égalité, que l'on multiplie ou divise un même nombre aux deux membres d'une égalité : les solutions de l'équation restent identiques.

 

On peut retrancher le nombre a aux deux membres de l'égalité pour isoler x

Si on a : x+a = b alors x+a - a = b-a donc x = b-a

En clair :

x+6 = 10, donc : x = 10 - 6, ainsi x = 4

 

On peut ajouter a aux deux membres de l'égalité pour isoler x

 

Dans le cas où on a : x-a = b si on ajoute a on obtient : x-a+a=b+a

Ainsi : x = b+a

En clair :

x-6 = 10

x = 10 + 6 donc x=16

 

On peut diviser par a deux membres d'une égalité pour isoler x

 

Si on a : ax = b alors (a/a)x = b/A donc x = a/b

En clair :

6x = 12 alors, x= 12/6 = 2

 

On peut multiplier par a deux membres d'une égalité pour isoler x

 

Dans le cas où on a : x/a = b alors x/a x a = b x a donc x = b x a

En clair :

x/6 = 18 donc x = 18 × 6 = 108

 

On peut multiplier par x les deux membres d'une égalité

 

Si on a : a/x = b alors a/x x x = b x x donc bx = a et x = a/b

En clair :

8/x = 2 donc 8 = 2x alors x = 8/2 = 4

 

Equation au produit nul

 

C'est une équation qui peut prendre la forme d'un ou plusieurs produits égaux à 0

En clair :

(4x + 2) (6x - 2)= 0

Si l'un des facteurs d'un produit est nul alors ce produit est nul.

Et si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul.

En clair :

Prenons l'équation (4x + 2) (6x - 2)= 0 et résolvons la.

Quand un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul donc :

4x + 2 = 0 ou 6x - 2= 0

Donc : x = -2 / 4 donc x = -1/2 ou x = 2/6 donc x = 1/3

Pour cette équation on a donc 2 solutions : -1/2 ou 1/3

 

Equation de type x2 = a

 

Si on a a < 0 alors l'équation n'admet pas de solution puisque le carré d'un nombre ne peut pas être négatif.

Si on a a = 0 alors l'équation x2 = a admet une seule solution : x = 0

Si on a a > 0 alors l'équation x2 = a admet deux solutions : √a ou -√a

 

Inéquation à une inconnue

 

Les inégalités

 

a ≤ b veut dire que a est inférieur ou égal à b.

a ≥ b veut dire que a est supérieur ou égal à b.

 

Les inéquations

 

C'est une inégalité avec un nombre inconnu symbolisé par une lettre

En clair :

3x + 4 < 8x + 2

Résoudre ce type d'inéquation revient à chercher toutes les valeurs possibles de x qui vérifient l'inégalité. Ainsi, chacune de ces valeurs sera une solution de l'inéquation.

 

Rappels sur les inégalités

 

Propriété 

 

On peut ajouter ou soustraire un nombre d’une inégalité sans en changer le sens.

 

Exemples : 

  • On considère l’inégalité 2x – 3 > 4.

 

Quand on ajoute le nombre 3 aux deux membres de l’inégalité on obtient :

 

2x – 3 + 3 > 4 + 3 soit 2x> 7

 

  • On considère l’inégalité 4x + 5 < 11.

 

Quand on soustrait le nombre 5 des deux membres de l’inégalité on obtient :

 

4x + 5 – 5 < 11 – 5 soit 4x < 6

 

Propriété 

 

On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre (différent de 0 dans le cas de la division) positif sans changer le sens de l’inégalité.

 

Exemples : 

 

  • On considère l’inégalité 5x > 3.

 

Quand on divise les deux membres de l’inégalité par 5 on obtient :

 

5x/5 > 3/5 soit x > 3/5

 

  • On considère l’inégalité (1/4)x ≤ 2.

 

Quand on multiplie les deux membres de l’inégalité par 4 on obtient :

 

(1/4)x × 4 ≤ 2 × 4 soit x ≤ 8

 

Propriété 

 

Quand on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre (différent de 0 dans le cas de la division) négatif alors le sens de l’inégalité est modifié.

 

Exemples : 

 

  • On considère l’inégalité -4x < 2.

 

Quand on divise les deux membres de l’inégalité par -4 on obtient :

 

(-4x)/(-4) > 2/(-4) soit x > - (1/2)

 

  • On considère l’inégalité ((-1)/5)x ≥ 3.

 

Quand on multiplie les deux membres de l’inégalité par -5 on obtient :

 

((-1)/5)x × (-5) ≤ 3 × (-5) soit x ≤ -15

Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

emmanuella242
5 5 0
20/20

Je n'ai jamais autant compris un cours de maths. ?

par - le 19/06/2017
Marionchouette
3 5 0
12/20

Je n'ai pas trop compris la deuxième partie de ce cours

par - le 04/06/2017
Chelby
5 5 0
20/20

Merci! J'ai juste une question le brevet c'est difficile ou facile vu qu'ils ont rajouté des matières et c'est quoi soutenance de projet? Merci ^^

par - le 13/01/2017
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