Fonctions affines

Fonctions affines

Parmi les fonctions à savoir maîtriser pour le Brevet se trouvent les fonctions affines. Révisez votre cours de maths grâce à cette fiche de révision de notre professeur !

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Quiz de Mathematiques :

Quelle est la forme réduite de cette expression : 15x - 7x² - 6 + 5x² - 2x ?

  • A.2x² + 17x - 6
  • B.12x² + 13x - 6
  • C.12x² + 17x - 6
  • D.-2x² + 13x - 6
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Le contenu du document

I - Définition

Soient a et b deux nombres donnés et fixés.
Une fonction affine est une fonction de la forme : f : x a x + b ou f(x) = a x+ b

Exemple 1 :

Soit f(x) = 3 x - 6
  1. Calculer f (-3)
f (-3) = 3 × (-3) -6 = -9 - 6 = -15
On en conclut donc que l'image de -3 par f est -15.
  1. Quel est l'antécédent de 6 ?
Ici on connaît donc l'image qui est 6, on recherche le nombre x tel que f : x 6
Ainsi, on a l'équation suivante : 3 x - 6 = 6. On résout l'équation : 3 x = 6+6 soit 3 x = 12, donc on a x = 12÷3 soit x = 4.
L'antécédent de 6 est donc 4.

Exemple 2 :

Une société propose une formule d'abonnement de 26 € mensuels pour un forfait de 2 heures de communication et 0,60 € par minute de dépassement.
Le prix à payer pour 30 minutes de dépassement est : 26 + 0,6 ×30 = 26 + 18 = 44
Pour 30 minutes de dépassement le prix est de 44 €.
Pour x minutes de dépassement, le prix exprimé en euro est : f(x) = 26 + 0,6 x
La fonction f ainsi définie est une fonction affine.

II - Représentation graphique de la fonction affine

Propriété
Soient a et b deux nombres connus.
La représentation graphique de la fonction affine f : x a x + b est la droite d'équation y = a x + b

1 - Le coefficient directeur

On appelle coefficient directeur le nombre a tel que : y = a x + b.
Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles.

2 - Ordonnée à l'origine

Soit f la fonction affine définie par f(x) = a x+ b
Pour x =0 on a f(0) = a × 0 + b = b
A l'origine des abscisses (quand x =0), l'ordonnée prend la valeur b ( y =b)
Donc b est appelé ordonnée à l'origine et la représentation graphique de f passe par le point (0 ; b)

3 - Représentation graphique

Exemple 1  : Traçons la représentation graphique de la fonction affine f(x) = 2x - 3
Pour cela on prend deux valeurs différentes de x et on calcule leurs images respectives.
f(0) = -3 et f(1) = (3 ×2) - 3 = 3 donc f(1) = 3
La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d'équation y = 2x - 3 qui passe par les points A (1 ; 3) et B (0 ; -3).
Exemple 2 : Traçons les représentations graphiques des fonctions affines f et g définies ci-dessous:
Pour cela on prend deux valeurs différentes de x pour chaque fonction et on calcule leurs images respectives.
Pour la fonction
et donc on a
La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d'équation y = 3x - 2 qui passe par les points A (3 ; 7) et B (0 ; -2).
Pour la fonction
et donc
La représentation graphique de la fonction affine g est la droite d'équation y = 3x + 1 qui passe par les points C (2 ; 7) et D (0 ; 1).
Les deux droites ont le même coefficient directeur 3, elles sont donc parallèles.

III - Déterminer une fonction affine

Il existe deux techniques pour déterminer une fonction affine : le calcul ou la lecture graphique.

1 - Le calcul

Il faut connaître les images respectives de deux nombres donnés que l'on notera x1 et x2.
Propriété dite des accroissements :
On a f, la fonction affine définie par
Quels que soient les nombres x1 et x2, on obtient :
Ici, a est le coefficient de la fonction affine.
Exemple :
Déterminer la fonction affine telle que
1 ère étape : On calcule la valeur de a en se conformant à la propriété des accroissements :
On en conclut donc que la fonction affine est de la forme :
2 ème étape : il s'agit maintenant de calculer la valeur de b.
Dans ce but, on utilise les nombres donnés ainsi que leurs images. On résout donc l'équation suivante :
Donc on a :
donc b = 3
En définitive, la fonction est de la forme :

2 - Lecture graphique

On peut déterminer une fonction affine à partir d'un graphique.
Pour déterminer le coefficient directeur d'une droite sur un graphique, il suffit de prendre deux points distincts de la droite sur le graphique, A et B, l'abscisse du premier doit être inférieure à celle du deuxième.
Le coefficient directeur a est alors trouvé par le rapport entre la différence des ordonnées, c'est-à-dire, , et la différence des abscisses, soit , de ces 2 points.
Soit :
Lorsque l'on étudie le graphique, on peut voir que .
On part de A, pour atteindre B nous devons nous déplacer de 4 unités dans le sens positif des abscisses. Donc la différence des abscisses, = +4.
Toujours en partant de A, on va vers B. Nous devons donc nous déplacer de 8 unités dans le sens positif des ordonnées. On a donc
En faisant le rapport entre les différences des ordonnées et des abscisses, on obtient :
On a donc :
Pour déterminer b, il suffit de lire l'ordonnée à l'origine. C'est en fait le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées .
Ici, b = +1 puisque la droite passe par le point (0 ;1).
La fonction est la suivante :
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

Howsmb
3 5 0
12/20

J'y comprend rien , même si les cours sont assez détailler

par - le 02/12/2016
Marine2310
3 5 0
12/20

nul je fait dix fois mieux nan je déconne ses bien mais un peu compliqué

par - le 22/06/2016
Kry0xX
4 5 0
16/20

Examples un poil compliqués. Sinon très bon cours!

par - le 22/06/2016
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