Fonctions affines

Fonctions affines

Parmi les fonctions à savoir maîtriser pour le Brevet se trouvent les fonctions affines. Révisez votre cours de maths grâce à cette fiche de révision de notre professeur !

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I - Définition

Soient a et b deux nombres donnés et fixés.
Une fonction affine est une fonction de la forme : f : x a x + b ou f(x) = a x+ b

Exemple 1 :

Soit f(x) = 3 x - 6
  1. Calculer f (-3)
f (-3) = 3 × (-3) -6 = -9 - 6 = -15
On en conclut donc que l'image de -3 par f est -15.
  1. Quel est l'antécédent de 6 ?
Ici on connaît donc l'image qui est 6, on recherche le nombre x tel que f : x 6
Ainsi, on a l'équation suivante : 3 x - 6 = 6. On résout l'équation : 3 x = 6+6 soit 3 x = 12, donc on a x = 12÷3 soit x = 4.
L'antécédent de 6 est donc 4.

Exemple 2 :

Une société propose une formule d'abonnement de 26 € mensuels pour un forfait de 2 heures de communication et 0,60 € par minute de dépassement.
Le prix à payer pour 30 minutes de dépassement est : 26 + 0,6 ×30 = 26 + 18 = 44
Pour 30 minutes de dépassement le prix est de 44 €.
Pour x minutes de dépassement, le prix exprimé en euro est : f(x) = 26 + 0,6 x
La fonction f ainsi définie est une fonction affine.

II - Représentation graphique de la fonction affine

Propriété
Soient a et b deux nombres connus.
La représentation graphique de la fonction affine f : x a x + b est la droite d'équation y = a x + b

1 - Le coefficient directeur

On appelle coefficient directeur le nombre a tel que : y = a x + b.
Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles.

2 - Ordonnée à l'origine

Soit f la fonction affine définie par f(x) = a x+ b
Pour x =0 on a f(0) = a × 0 + b = b
A l'origine des abscisses (quand x =0), l'ordonnée prend la valeur b ( y =b)
Donc b est appelé ordonnée à l'origine et la représentation graphique de f passe par le point (0 ; b)

3 - Représentation graphique

Exemple 1  : Traçons la représentation graphique de la fonction affine f(x) = 2x - 3
Pour cela on prend deux valeurs différentes de x et on calcule leurs images respectives.
f(0) = -3 et f(1) = (3 ×2) - 3 = 3 donc f(1) = 3
La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d'équation y = 2x - 3 qui passe par les points A (1 ; 3) et B (0 ; -3).
Exemple 2 : Traçons les représentations graphiques des fonctions affines f et g définies ci-dessous:
Pour cela on prend deux valeurs différentes de x pour chaque fonction et on calcule leurs images respectives.
Pour la fonction
et donc on a
La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d'équation y = 3x - 2 qui passe par les points A (3 ; 7) et B (0 ; -2).
Pour la fonction
et donc
La représentation graphique de la fonction affine g est la droite d'équation y = 3x + 1 qui passe par les points C (2 ; 7) et D (0 ; 1).
Les deux droites ont le même coefficient directeur 3, elles sont donc parallèles.

III - Déterminer une fonction affine

Il existe deux techniques pour déterminer une fonction affine : le calcul ou la lecture graphique.

1 - Le calcul

Il faut connaître les images respectives de deux nombres donnés que l'on notera x1 et x2.
Propriété dite des accroissements :
On a f, la fonction affine définie par
Quels que soient les nombres x1 et x2, on obtient :
Ici, a est le coefficient de la fonction affine.
Exemple :
Déterminer la fonction affine telle que
1 ère étape : On calcule la valeur de a en se conformant à la propriété des accroissements :
On en conclut donc que la fonction affine est de la forme :
2 ème étape : il s'agit maintenant de calculer la valeur de b.
Dans ce but, on utilise les nombres donnés ainsi que leurs images. On résout donc l'équation suivante :
Donc on a :
donc b = 3
En définitive, la fonction est de la forme :

2 - Lecture graphique

On peut déterminer une fonction affine à partir d'un graphique.
Pour déterminer le coefficient directeur d'une droite sur un graphique, il suffit de prendre deux points distincts de la droite sur le graphique, A et B, l'abscisse du premier doit être inférieure à celle du deuxième.
Le coefficient directeur a est alors trouvé par le rapport entre la différence des ordonnées, c'est-à-dire, , et la différence des abscisses, soit , de ces 2 points.
Soit :
Lorsque l'on étudie le graphique, on peut voir que .
On part de A, pour atteindre B nous devons nous déplacer de 4 unités dans le sens positif des abscisses. Donc la différence des abscisses, = +4.
Toujours en partant de A, on va vers B. Nous devons donc nous déplacer de 8 unités dans le sens positif des ordonnées. On a donc
En faisant le rapport entre les différences des ordonnées et des abscisses, on obtient :
On a donc :
Pour déterminer b, il suffit de lire l'ordonnée à l'origine. C'est en fait le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées .
Ici, b = +1 puisque la droite passe par le point (0 ;1).
La fonction est la suivante :
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

jotoko
5 5 0
20/20

c'est vraie que certaines choses sont imprécises les exemples sont parfois inexpliqué et en plus de ça la leçon n'est pas très bien expliquer c'est dommage parce que beaucoup voudrait comprendre (je pense) j'espère donc que tous les cours ne sont pas comme celui-ci : )

par - le 21/05/2017
manon14d
3 5 0
12/20

Je ne comprends toujours pas malgré que le cour soit détaillé

par - le 03/05/2017
Sabat01
5 5 0
20/20

Très bon cours mais attention à l'exemple1 du chapitre de la représentation graphique : f(0) =-3 Mais f(1) =-1 et non pas -3

par - le 29/04/2017
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