Fonctions linéaires et affines - Mathématiques - 3ème

Fonctions linéaires et affines - Mathématiques - 3ème

digiSchool Brevet vous présente ce cours de maths de troisième sur les fonctions linéaires et affines.

Dans cette leçon de maths, vous trouverez dans un premier temps une présentation générale de la notion. Puis, vous entrerez dans le vif du sujet avec une partie sur les fonctions linéaires. Vous poursuivrez avec les fonctions affines. Vous passerez ensuite aux représentations graphiques et aux utilisations de la représentation graphique.

Téléchargez ci-dessous cette fiche de maths sur les fonctions linéaires et affines pour le Brevet des Collèges.

Document rédigé par un prof Fonctions linéaires et affines - Mathématiques - 3ème

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Présentation

Ce chapitre complète ce qui a déjà été vu sur la notion de fonction précédemment. Nous allons étudier deux types de fonctions importantes pour la suite de ta scolarité en mathématiques. Ce sera l’occasion de rencontrer une nouvelle fois la proportionnalité vu, cette fois-ci, sous l’angle des fonctions.

Il s’agit donc ici d’étudier un cas très particulier de fonctions : celles représentées par des droites. Nous allons voir dans cette fiche d’une part comment les représenter et d’autre part comment déterminer l’expression algébrique de telles fonctions à partir de leur représentation graphique. Cet aspect graphique est très important pour la suite de tes études car il permet, dans de nombreux cas, de vérifier tes calculs.

Pour aborder sereinement ce chapitre, il est nécessaire d’avoir très bien compris le chapitre sur la notion de fonction, en particulier le vocabulaire associé aux fonctions. Tu seras également amené à faire un peu de calcul littéral et, parfois, à résoudre des équations du premier degré.

Il faut, à l’issue de chapitre, être capable de déterminer graphiquement les différents coefficients associés aux fonctions linéaires et affines ainsi que de savoir les représenter dans un repère. Le cours de mathématiques de seconde s’appuiera sur ces différents points pour compléter tes connaissances dans ce domaine.

Fonctions linéaires

Définition 

On appelle fonction linéaire toute fonction de la forme f : x → ax  où a est un nombre quelconque.

Le nombre a est appelé le coefficient directeur de la fonction linéaire.

Exemples :

 

  • La fonction f : x  → 2x est une fonction linéaire dont le coefficient directeur est 2.
  • La fonction g: x  → -5x est une fonction linéaire dont le coefficient directeur est -5.

 

Les fonctions linéaires modélisent à l’aide de fonctions des situations de proportionnalité.

On considère le tableau de proportionnalité suivant :

tableau de proportionnalité

On peut alors lui associer la fonction linéaire suivante f : x → 3x.

Le coefficient de proportionnalité du tableau correspond donc au coefficient directeur de la fonction linéaire.

Exemple : Si un véhicule se déplace à la vitesse moyenne de 50 km/h alors la fonction qui au temps (exprimé en h) lui associe la distance parcourue (en km)  est d : x → 50x.

Fonctions affines

Définition 

On appelle fonction affine toute fonction de la forme f : x → ax + b où a et b sont des nombres quelconques.

Le nombre a est appelé le coefficient directeur de la fonction affine et b l’ordonnée à l’origine de cette fonction.

Exemples :

 

  • La fonction f : x  → 3x + 5 est une fonction affine dont le coefficient directeur est 3 et l’ordonnée à l’origine est 5.
  • La fonction g : x  → -2x + 1 est une fonction affine dont le coefficient directeur est -2 et l’ordonnée à l’origine est 1.
  • La fonction h : x  → 3 – 4x est une fonction affine dont le coefficient directeur est -4 et l’ordonnée à l’origine est 3.
  • La fonction i : x  → 1,4x – 2 est une fonction affine dont le coefficient directeur est 1,4 et l’ordonnée à l’origine est -2.

 

Remarques :

 

  • Une fonction linéaire est une fonction affine particulière pour laquelle b = 0.
  • Si a = 0 alors la fonction affine est dite constante. En effet, tout nombre x a pour image la valeur de b. 

 

Exemple : La fonction f : x →2 est une fonction affine dont le coefficient directeur est 0 et l’ordonnée à l’origine est 2. 

On a donc, pour tout nombre x, f(x) = 2.

Voyons comment déterminer des images et des antécédents à l’aide des fonctions affines.

Propriété

On considère une fonction affine non constante f. Tout nombre possède un seul antécédent par la fonction f.

On considère la fonction f : x →2x + 3.

image et antécédent

Représentations graphiques

Propriété

Une fonction linéaire est représentée graphiquement par une droite passant par l’origine du repère.

Exemple : On considère la fonction f : x →2x

Il s’agit d’une fonction linéaire dont le coefficient directeur est 2.

La propriété précédente nous assure que cette fonction est représentée graphiquement par une droite passant par l’origine du repère.

Or pour tracer une droite il suffit de connaître deux points. Il ne nous en manque donc plus qu’un.

On choisit, au hasard, un nombre pour lequel on va calculer son image. Prenons, par exemple, x = 3 alors f(3) = 2 × 3 = 6. Ainsi la droite passe également par le point de coordonnées (3 ; 6).

représentation graphique

Propriété

Une fonction affine est représentée graphiquement par une droite. Si la fonction affine est constante alors la droite est parallèle à l’axe des abscisses.

Exemple : On considère la fonction g : x → -x + 4.

Il s’agit d’une fonction affine dont le coefficient directeur est -1 et l’ordonnée à l’origine est 4.

La propriété précédente nous indique que cette fonction est représentée par une droite. On doit donc déterminer les coordonnées de deux points appartenant à cette droite.

On choisit par conséquent deux nombres au hasard et on calcule leur image.

 

  • Si x = -2 alors f(-2) = -(-2) + 4 = 2 + 4 = 6. 

 

La droite passe par le point de coordonnées (-2 ; 6)

 

  • Si x = 3 alors f(3) = -3 + 4 = 1.

 

La droite passe par le point de coordonnées (3 ; 1)

graphique fonction

Remarque : Les deux points qu’on place doivent être « suffisamment » éloignés pour limiter les imprécisions liées au tracé.

Utilisation de la représentation graphique

Nous allons voir dans cette partie comment déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une fonction affine quand on ne connaît que la représentation graphique d’une fonction affine.

Cela n’est possible que si la droite fournie n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.

Exemples :

utilisation de la représentation graphique

L’ordonnée à l’origine est très facile à déterminer : il s’agit de l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. On a donc ici b = -1.

Pour déterminer le coefficient directeur on va choisir deux points de la droite qui se trouvent sur le quadrillage. On peut, par exemple, prendre les points A et B. On s’intéresse ensuite au nombre d’unités nécessaires pour passer du point A au point B en suivant les deux axes (en comptant positivement des déplacements vers la droite ou vers le haut et négativement des déplacements vers la gauche ou vers le bas). Pour cela, on peut utiliser un point intermédiaire C afin de tracer un triangle rectangle.

Le déplacement horizontal sera noté dans cette fiche Δx  et le déplacement vertical Δy.  

Le coefficient directeur est alors donné par a = Δy/Δx = +2/+1 = 2.

La fonction est donc f : x →2x – 1.

représentation graphique fonction

Sur ce nouvel exemple on peut lire que l’ordonnée à l’origine est b = 2.

Le coefficient directeur est a = Δy/Δx = -3/+1 = -3.

Δy  est négatif car pour passer de A à B on « descend » de 3 unités.

Ainsi la fonction est f : x →-3x + 2

Voici un dernier exemple de fonction affine.

graphique fonction affine

L’ordonnée à l’origine est b = 1.

Le coefficient directeur est a = Δy/Δx = +1/+4 = 1/4.

La fonction était donc f : x →x + 1

Remarque : Cette méthode permet bien évidemment de déterminer également le coefficient directeur d’une fonction linéaire.

Fin de l'extrait

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