Fonctions linéaires et proportionnalité

Définition

Propriété

Soit a, un nombre connu et donné.

Quand on associe à chaque nombre x le produit ax, alors on a une fonction linéaire de coefficient a.

Elle peut être notée de deux façons : f(x) = a ou bien f : x → ax.

On dit ainsi que ax est l'image de x.

Exemple

Les fonctions f(x) = 2x, g : x → 4,5x ou encore h(x) = -2,5x sont des fonctions linéaires.

Par contre les fonctions : g : x → 4,5x + 2 ou g(x) = 6,5x - 3 ou encore h : x → 5x² ne sont pas des fonctions linéaires.

Remarque importante

Si f est une fonction linéaire de coefficient a, on a toujours : f(0) = 0 et f(1) = a car on a toujours : f(0) = a x 0 = 0 et f(1) = a x 1 = a.

Méthode pour déterminer une fonction linéaire en sachant son nombre et son image :

Sachant que f(2) = 5,4, trouver la fonction linéaire.

On sait que f(x) = ax, donc f(2) = 2a = 5,4. Il suffit donc de résoudre l'équation 2a = 5,4 c'est-à-dire a = 5,4/2 = 2,7.

Ainsi, le coefficient a de la fonction linéaire f est 2,7.

On peut donc en conclure f(x) = 2,7x.

Fonction linéaire et proportionnalité

Propriété

Les fonctions linéaires peuvent retranscrire des situations de proportionnalité. Leur coefficient est en fait le coefficient de proportionnalité.

Exemple

On prend l'exemple d'une proportion entre le côté et le périmètre d'un carré.

Le périmètre d'un carré est proportionnel à la longueur de ses côtés. En effet, pour calculer le périmètre d'un carré il suffit de multiplier la longueur d'un côté par 4 puisque les 4 côtés sont égaux.

A chaque longueur du côté x, on peut associer le périmètre f(x) qui est en fait : f(x) = 4x.

4 est ainsi le coefficient de proportionnalité en plus d'être le coefficient de la fonction linéaire.

Représentation graphique d'une fonction linéaire

Propriété

Soit a un nombre connu. La représentation graphique de la fonction linéaire f : x → ax dans un repère orthonormé est en fait la droite d'équation y = ax .

Cette droite passe par l'origine du repère, et a est le coefficient directeur de cette droite.

Exemple

Essayons maintenant de tracer la représentation graphique de la fonction linéaire f : x → 3 x .

Si x = 1 alors on obtient f( 1) = 3 × 1 = 3

Selon la propriété, la représentation graphique de la fonction linéaire f est une droite qui passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées (1,3).

L'application aux pourcentages

Propriété

Pour augmenter un nombre de n%, il faut le multiplier par 1 + (n/100)

Pour diminuer un nombre de n%, il faut le multiplier par 1 - (n/100)

Exemple

Un article coûte x €, son prix est augmenté de 13%.

Le prix après augmentation, que l'on note f , est proportionnel au prix initial.

f(x) = x + 13/100 x = x (1 + 13/100) = x × 1,13 = 1,13 x on en conclut donc que f(x)= 1,13 x