Identités remarquables - Mathématiques - Troisième

Identités remarquables - Mathématiques - Troisième

Voici un cours de mathématiques de niveau 3ème mis à votre disposition gratuitement par digiSchool Brevet. Il s'agit d'une fiche sur les identités remarquables.

Dans cette leçon de maths, vous commencerez par une présentation. Puis, la deuxième partie consistera en un rappel sur le développement. La troisième partie sera consacrée aux identités remarquables et développement. La partie quatre rappellera les notions de la factorisation et la partie cinq mettra en relation les identités remarquables et la factorisation. Enfin, la dernière partie vous permettra d'aller plus loin.

Téléchargez ci-dessous ce cours de maths de 3ème sur les identités remarquables.

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Présentation

Ce chapitre sur les identités remarquables te permet de développer très rapidement des expressions littérales mais également de factoriser des expressions qui, jusque-là, n’étaient pas factorisables. 

Il s’appuie énormément sur le travail fait sur le calcul littéral les années précédentes. Il est très important de savoir manier la double distributivité pour comprendre les démonstrations des résultats que tu verras. Le principe de factorisation nécessite également d’avoir été bien compris. Les formules utilisent le carré de nombres. Il faut donc être capable de reconnaître les carrés des premiers entiers naturels.

Ces identités remarquables seront principalement utilisées dans des exercices de calcul littéral mais on peut également les associer à de nombreux chapitres vus cette année où les années suivantes au lycée (les racines carrées par exemple).

Tu retrouveras chaque année, au lycée, des exercices qui feront intervenir les identités remarquables. Il est donc très important de bien savoir les manipuler dès cette année afin de ne pas rester bloquer sur une question ou de ne pas comprendre un passage du cours dans le futur.

Un bon moyen de comprendre ce chapitre est de multiplier les exercices d’applications.

 

Rappels sur le développement

Développer une expression littérale consiste à l’écrire sous la forme d’une somme de termes.

Propriété  (simple distributivité)

On considère 3 nombres a, b et k. On a alors :

simple distributivité

Exemples :

 

  • 2 (x + 5) = 2 × x + 2 × 5 = 2x + 10
  • -5(2x – 3) = -5 × 2x – 5 × (-3) = -10 x + 15
  • x(3 – 4x) = x × 3 – x × 4x = 3x – 4x2

 

Propriété (double distributivité)

On considère 4 nombres a, b, c et d. On a alors :

double distributivité
Exemples :
  • (2 + x) (x + 5) = 2 × x + 2 × 5 + x × x + x × 5
= 2x + 10 + x2 + 5x 
= x2 + 7x + 10
  • (2x – 3)(6x + 4) = 2x × 6x + 2x × 4 – 3 × 6x – 3 × 4
  = 12x2 + 8x – 18x – 12
= 12x2 – 10x – 12
  • (3x – 4)(5x – 2) = 3x × 5x + 3x × (-2) – 4 × 5x – 4 × (-2)
= 15x2 – 6x – 20x + 8
= 15x2 – 26x + 8

Identités remarquables et développement

Propriété 
On considère 2 nombres a et b. On a alors :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Preuve : 
(a + b)2 = (a + b) × (a + b)
= a × a + a × b + b × a + b × b
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
Exemples :
  • On veut développer l’expression (x + 4)2
On utilise la propriété précédente avec a = x et b = 4.
identité remarquable 1
  • On veut développer l’expression (3x + 5)2.
On utilise la propriété précédente avec a = 3x et b = 5.
identité remarquable 2
Propriété
 
On considère 2 nombres a et b. On a alors :
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Preuve : 
(a – b)2 = (a – b) × (a – b)
= a × a + a × (-b) – b × a – b × (-b)
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
Exemples :
  • On veut développer l’expression (x – 6)2
On utilise la propriété précédente avec a = x et b = 6.
identité remarquable 3
  • On veut développer l’expression (4x – 3)2.
On utilise la propriété précédente avec a = 4x et b = 3.
identité remarquable 4
Propriété
 
On considère 2 nombres a et b. On a alors :
(a – b)(a + b) = a2 – b2
Preuve : 
(a – b)(a + b) = a × a + a × b – b × a – b × b
             = a2 + ab – ab – b2
         = a2 – b2
Exemples :
  • On veut développer l’expression (x – 4)(x + 4) . 
On utilise la propriété précédente avec a = x et b = 4.
identité remarquable 5
  • On veut développer l’expression (5x – 2)(5x + 2).
On utilise la propriété précédente avec a = 5x et b = 2.

Rappels sur la factorisation

Factoriser une expression c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.
Propriété  (facteur commun)
On considère 3 nombres a, b et k. On a alors :
k × a + k × b = k(a + b)
Exemples :
  • 2x + 3x = (2 + 3) × x = 5x
  • 3x – 6y = 3x – 3 × 2y = 3(x – 2y)
  • (x + 1)(x – 2) + 4(x – 2) = (x – 2)[(x+1)+4]= (x – 2)(x + 5)
  • (2x – 3)(x + 1) – (2x – 3)(6x – 5) = (2x – 3)[(x+1)-(6x-5)]
= (2x – 3)(x + 1 – 6x + 5) = (2x – 3)(-5x + 6)
Remarque : Pour factoriser une expression à l’aide d’un facteur commun, on commence par identifier le facteur commun dans l’expression puis on écrit entre parenthèses ou entre crochets les autres éléments de l’expression (nombres et signes) exactement dans l’ordre d’apparition.
Cas particulier : 
(x + 5)(2x – 1) – (x + 5) = (x + 5)(2x – 1) – (x + 5) × 1 = (x + 5)[(2x-1)-1]= (x + 5)(2x – 2)
Le « 1 » qui a été ajouté dans la deuxième expression permet de comptabiliser, dans la factorisation, le facteur (x + 5) du second terme.

Identités remarquables et factorisation

On va réutiliser les formules vues dans la partie concernant le développement mais en les lisant, cette fois-ci, de la droite vers la gauche.
Propriété  
On considère 2 nombres a et b. On a alors :
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
Exemples :
  • On veut factoriser l’expression x2 + 6x + 9.
On constate que x2 + 6x + 9 = x2 + 2 × x × 3 + 32. On peut donc appliquer la propriété précédente avec a = x et b = 3. On obtient ainsi :
x2 + 6x + 9 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = (x + 3)2
  • On veut factoriser l’expression 4x2 + 20x + 25.
On constate que 4x2 + 20x + 25 = (2x)2 + 2 × 2x × 5 + 52. On peut donc appliquer la propriété précédente avec a = 2x et b = 5. On obtient ainsi :
4x2 + 20x + 25 = (2x)2 + 2 × 2x × 5 + 52 = (2x + 5)2
Propriété
 
On considère 2 nombres a et b. On a alors :
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
Exemples :
  • On veut factoriser l’expression x2 – 10x + 25.
On constate que x2 – 10x + 25 = x2 – 2 × x × 5 + 52. On peut donc appliquer la propriété précédente avec a = x et b = 5. On obtient ainsi :
x2 – 10x + 25 = x2 – 2 × x × 5 + 52 = (x – 5)2
  • On veut factoriser l’expression 9x2 – 24x + 16.
On constate que 9x2 – 24x + 16 = (3x)2 – 2 × 3x × 4 + 42. On peut donc appliquer la propriété précédente avec a = 3x et b = 4. On obtient ainsi :
9x2 – 24x + 16 = (3x)2 – 2 × 3x × 4 + 42 = (3x – 4)2
Propriété
 
On considère 2 nombres a et b. On a alors :
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Exemples :
  • On veut factoriser l’expression x2 – 36.
On constate que x2 – 36 = x2 – 62. On peut donc appliquer la propriété précédente avec a = x et b = 6. On obtient ainsi :
x2 – 36 = x2 – 62 = (x – 6)(x + 6)
  • On veut factoriser l’expression 49x2 – 64.
On constate que 49x2 – 64 = (7x)2 – 82. On peut donc appliquer la propriété précédente avec a = 7x et b = 8. On obtient ainsi :
49x2 – 64 = (7x)2 – 82 = (7x – 8)(7x + 8)

Pour aller plus loin

Les propriétés vues précédemment peuvent être utilisées dans des situations un peu différentes ou un peu plus complexes. Voici 2 exemples classiques :
Exemples :
exemple propriété
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Les avis sur ce document

MasterChiefs117
5 5 0
20/20

Très bien j'ai tout compris, contrairement en cour

par - le 25/01/2017

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