La trigonométrie dans un triangle - Mathématiques - 3ème

La trigonométrie dans un triangle - Mathématiques - 3ème

Voici une fiche de cours de maths sur la trigonométrie dans un triangle. Elle a été rédigée par notre professeur et vous est proposée grauitement par digiSchool Brevet.

Dans cette leçon de maths, vous commencerez par une présentation générale de la notion de trigonométrie. Puis, vous trouverez une partie sur le cosinus, suivie d'une partie sur les côtés d'un triangle rectangle. Ensuite, vous poursuivrez avec une partie sur le sinus et la tangente. Vous terminerez par quelques valeurs remarquables et quelques propriétés.

Téléchargez ci-dessous cette fiche de mathématiques de niveau troisème sur la trigonométrie pour le Brevet des Collèges.

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Présentation

Nous allons aborder dans ce chapitre une branche des mathématiques qui a intéressé de nombreux mathématiciens : la trigonométrie. Elle consiste en l’étude des angles. On peut chercher à calculer les angles entre deux droites, ceux obtenus à partir d’un cercle, sur une sphère, … Dans cette fiche, nous étudierons les angles dans des triangles rectangles.

La notion essentielle cachée derrière ce cours est la proportionnalité. Nous allons en effet voir qu’il existe des rapports de longueurs constants auxquels nous donnerons des noms. Il est important de maîtriser les calculs liés à la proportionnalité afin d’être en mesure de résoudre les équations que tu rencontreras.

Ce chapitre sera l’occasion de découvrir de nouvelles touches de ta calculatrice. Tu dois savoir calculer le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle donné mais également déterminer l’angle associé à un cosinus, un sinus ou tangente.

Ce chapitre sur la trigonométrie sera complété en seconde avec l’étude de certaines fonctions et la découverte d’une nouvelle unité d’angle mais également en filière scientifique par la suite. 

Le cosinus

On considère cette succession de triangles rectangles :

triangles rectangles

Quand on calcule les rapports AB/AC, AD/AE, AF/AG et AH/AI on se rend compte qu’ils sont tous égaux et qu’ils dépendent tous de la mesure de l’angle angle BAC

Définition 

Dans un triangle ABC, rectangle en B on appelle cosinus de l’angle angle BAC le nombre AB/AC.

On le note cos angle BAC = AB/AC.

Exemple : On considère le triangle rectangle suivant 

exemple triangle rectangle

On a alors cos angle BAC = AB/AC = 4/5

A l’aide de la touche Acos ou cos-1 de la calculatrice (mise en mode degré) on obtient une valeur approchée de la mesure de l’angle angle BAC = 36,87°.

Remarques : 

 

  • La formule ne s’applique jamais pour calculer le cosinus d’un angle droit.
  • Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle est toujours compris entre 0 et 1.

 

Pour calculer le cosinus d’un angle donné, on utilise la touche cos de la calculatrice. On obtient ainsi, par exemple, que cos (60°) = 0,5.

Applications : 

 

  • Dans un triangle ABC rectangle en B on a angle BAC = 30° et AC = 8 cm. On peut donc écrire : cos angle BAC = AB/AC soit cos (30°) = AB/8. Par conséquent AB = 8 x cos (30°) = 6,93 cm.
  • Dans un triangle ABC rectangle en B on a angle BAC = 45° et AB = 6 cm. On a donc cos angle BAC = AB/AC soit cos (45°) = 6/AC. Par conséquent AC = cosinus

 

Remarque : Quand on calcule la longueur d’un côté à l’aide de cette formule, on vérifie toujours que l’hypoténuse est bien, à l’issue des calculs, le côté le plus grand.

Les côtés d’un triangle rectangle

On considère un triangle rectangle et un des deux angles aigus de ce triangle.

côtés triangle rectangle

On appelle :

 

  • côté adjacent à un angle : le côté du triangle qui touche l’angle et l’angle droit ;
  • côté opposé à un angle : le côté qui ne touche pas l’angle
  • hypoténuse : le plus grand côté du triangle rectangle.

 

Remarque :  Si on considère l’autre angle aigu du triangle rectangle le côté adjacent de l’exemple précédent devient le côté opposé du nouvel angle. Seule l’hypoténuse ne change pas.

Sinus et tangente

De la même manière qu’on a défini le cosinus d’un angle on peut définir deux autres nombres associés à un angle aigu d’un triangle rectangle.

Définition 

Dans un triangle ABC, rectangle en B on appelle :

triangle ABC

 

  • sinus de l’angle angle BAC le nombre BC/AC, noté sin angle BAC
  • tangente de l’angle angle BAC le nombre BC/AB, noté tan angle BAC

 

En utilisant les notations de la partie précédente on obtient les formules suivantes :

trigonométrie

De la même manière que pour le cosinus, ta calculatrice possède des touches sin et tan pour calculer le sinus et la tangente d’un angle donné et des touches Asin/sin-1 et Atan/tan-1 pour déterminer la mesure d’un angle à partir de son sinus ou de sa tangente.

Applications :

 

  • Dans un triangle ABC rectangle en B on a angle BAC = 60° et AC = 7 cm. On peut donc écrire sin angle BAC  = BC/AC soit sin (60°) = BC/7. Par conséquent BC = 7 x sin (60°) = 6,06 cm.
  • Dans un triangle ABC rectangle en B on a angle BAC = 30° et BC = 6 cm. On peut donc écrire tan angle BAC = BC/AB soit tan (30°) = 6/AB. Par conséquent AB = TANGENTE

 

Quelques valeurs remarquables

Voici quelques valeurs qu’il serait utile de connaître cette année ou les années à venir.

tableau de valeurs remarquables

Quelques propriétés

Ces propriétés étaient explicitement présentes dans les anciens programmes. Elles sont toujours très souvent utilisées au lycée.

propriétés

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Les avis sur ce document

Rosaliekiwii
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16/20

Au début je n'avais pas très bien compris mais en le lisant j'ai compris, c'est bien expliquer.

par - le 21/05/2017

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