Les puissances - Mathématiques - 3ème

Les puissances - Mathématiques - 3ème

Voici une fiche de cours de maths de niveau 3ème sur les puissances.

Dans cette leçon, vous commencerez par une partir introductive qui vous présente la notion de puissance. Puis vous enchainerez avec les puissances de 10. La troisième partie traitera de l'écriture scientifique. Ensuite, vous traiterez les puissances d'un nombre. Enfin, vous verrez quelques valeurs à connaître.

Téléchargez ci-dessous cette fiche de mathématiques pour le brevet sur les puissances.

Les puissances - Mathématiques - 3ème

Le contenu du document


 

Présentation

On va revoir dans ce chapitre les notions vues en classe de quatrième sur les puissances. On va voir dans un premier temps la définition des puissances de 10 et la notation scientifique puis, dans un second temps, on va généraliser la notion à tous les nombres.

Les puissances permettent de simplifier l’écriture de certains calculs. Il faudra donc être capable de lire les définitions dans les deux sens : de l’écriture brute vers l’écriture avec les puissances mais également de celle avec les puissances vers l’écriture brute.

Tu vas voir, dans ce chapitre, de nombreuses règles de calcul qu’il faudra que tu retiennes. C’est la clé pour bien comprendre comment fonctionnent les puissances. Ces règles ont l’avantage d’être valables à la fois pour les puissances de 10 et pour les puissances d’un nombre quelconque.

Il sera nécessaire de bien maîtriser le calcul numérique et, comme cela a été dit précédemment, d’être capable d’appliquer rigoureusement les règles de calculs qui te seront fournies.

Les puissances interviennent régulièrement dans le monde scientifique pour décrire des éléments très grands ou au contraire très petits. Elles sont très liées aux suffixes « kilo », « méga », « téra », … qu’on voit souvent en informatique. Les puissances de 2 régissent le calcul binaire, celui sur lequel s’appuie l’architecture de tout ordinateur, téléphone portable, console, appareil électronique en général. On est donc, au quotidien, entouré d’objets manipulant les puissances. 

 

Les puissances de 10

Définition 

Pour tout entier naturel n, on note 10n le nombre

explication puissance

qui se lit « 10 puissance n ». Le nombre n est appelé l’exposant de la puissance.

Exemples : 

 

  • 102 = 10 × 10
  • 103 = 10 × 10 × 10 
  • 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10

 

Propriété

Pour tout entier naturel n on a 10n = nombre de zéro

Exemples : 

 

  • 102 = 100 : n = 2, on écrit le nombre à l’aide d’un « 1 » suivi de 2 zéros. 
  • 105 = 100 000 : n = 5, on écrit le nombre à l’aide d’un « 1 » suivi de 5 zéros.

 

Propriété

Pour tous entiers naturels n et m on a : 10n × 10m = 10n+m.

Exemples : 

 

  • 102 × 105 = 102+5 = 107
  • 103 × 106 = 103+6 = 109

 

Attention : Il n’y a aucune règle de calcul concernant 10n + 10m.

Propriété

Pour tous entiers naturels n et m on a : (10n)m = 10n×m.

Exemples : 

 

  • (102)3 = 102x3 = 106
  • (105)4 = 105x4 = 1020

 

Définition 

Pour tout entier naturel n, on note 10-n le nombre 1/10n = fraction puissance

Exemples : 

 

  • 10-4 = 1/104
  • 10-6 = 1/106

 

Propriété

Pour tout entier naturel n on a 10-n = nombre de zéro virgule

Exemples : 

 

  • 10-3 = 0,001 : n = 3, on écrit donc 3 zéros suivis d’un 1 et le premier zéro est le chiffre des unités.
  • 10-5 = 0,000 01 : n = 5, on écrit donc 5 zéros suivis d’un 1 et le premier zéro est le chiffre des unités.

 

Remarque : Les propriétés précédentes vues pour des exposants positifs restent vraies pour des exposants négatifs.

Propriété

Pour tous entiers relatifs n et m on a 10m/10n = 10m-n.

Exemples :

 

  • 104/102 = 104-2=102
  • 109/10-3 = 109-(-3) = 109+3 = 1012
  • 103/108 = 103-8 = 10-5

 

Ecriture scientifique

Définition 

Donner l’écriture scientifique d’un nombre n c’est l’écrire sous la forme a × 10m où a est un nombre compris entre 1, inclus, et 10, exclus, et m un entier relatif. 

Exemples : 

 

  • 125 = 1,25 × 100 = 1,25 × 102. L’écriture scientifique de 125 est 1,25 × 102.
  • 0,000 325 6 = 3,256 × 0,000 1 = 3,256 × 10-5. L’écriture scientifique de 0,000 325 6 est 3,256 × 10-5.

 

Les calculs sur les notations scientifique se font de la même manière qu’avec les autres nombres et sont régis par les mêmes propriétés opératoires.

Exemple : 1,56 × 103 × 7,8 × 107 = 12,168 × 1010 = 1,216 8 × 10 × 1010 = 1,216 8 × 1011.

Puissance d’un nombre

Définition 

Pour tout entier naturel n, on note an le nombre puissance d'un nombre

qui se lit « a puissance n ». Le nombre n est appelé l’exposant de la puissance.

Exemples : 

 

  • 52 = 5 × 5
  • 73 = 7 × 7 × 7
  • 114 = 11 × 11 × 11 × 11 

 

Cas particuliers

Pour tout nombre a et tout entier naturel n on a :

a1 = a

a0 = 1 si a ≠ 0

0n = 0 si n ≠ 0

1n = 1

En revanche 00 n’existe pas.

Définition 

Pour tout entier naturel n, on note a-n le nombre puissance d'un nombre fraction

Exemples : 

 

  • 5-3 = 1/53 = 1/125
  • 2-5 = 1/25 = 1/32

 

Les propriétés algébriques vues sur les puissances de 10 sont également valables pour les puissances d’un nombre quelconque.

Propriété

Pour tous entiers relatifs n et m et tout nombre a on a :

 

  • am × an = am+n
  • (an)m = anxm
  • an/am = an-m

 

Exemples :

 

  • 53 × 58 = 53+8 = 511 2-4 × 27 = 2-4+7 = 23

 

Cette propriété nécessite que ce soit le même nombre qu’on élève à deux puissances (différentes ou non).

 

  • (34)5 = 34x5 = 320 (7-2)3 = 7-2x3 = 7-6
  • 117/114 = 117-4 = 113 (-5)2/(-5)8 = (-5)2-8 = (-5)-6

 

Propriété

On considère deux nombres quelconques a et b et un entier relatif n.

On a alors an × bn = (ab)n

Exemple : 23 × 53 = (2 × 5)3 = 103

 

Quelques valeurs à connaître

Parmi les puissances de nombres, il est souhaitable de connaître les valeurs suivantes par cœur.

puissances à connaitre

Fin de l'extrait

Vous devez être connecté pour pouvoir lire la suite

Télécharger ce document gratuitement

Donne ton avis !

Rédige ton avis

Votre commentaire est en attente de validation. Il s'affichera dès qu'un membre de Brevet le validera.
Attention, les commentaires doivent avoir un minimum de 50 caractères !
Vous devez donner une note pour valider votre avis.

Vous devez être membre de digiSchool Brevet

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Mot de passe oublié ?