Nombres entiers et PGCD

Nombres entiers et PGCD

Parmi les cours d'algèbre au programme de mathématiques, se trouve le cours sur les Nombres entiers et le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Notre professeur vous propose sa fiche de révision pour le Brevet !

Nombres entiers et PGCD

Le contenu du document

 

 

 

 

 

 

 

Diviseur d'un entier naturel

 

Définition

 

Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors :

d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d × k

Ainsi, k est aussi diviseur de a.

En clair :

4 est-il un diviseur de 12 ?

12 = 4 × 3, donc 4 est bien un diviseur de 12.

 

Remarques

 

Pour tout nombre entier naturel n on a : 1 ×n = n

On en conclut que 1 est un diviseur de n'importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel est un diviseur de lui-même.

En clair :

12 = 1 × 12

1 et 12 sont donc diviseurs de 12.

 

Vocabulaire important

 

2 est un diviseur de 6

6 a pour diviseur 2

6 est divisible par 2

 

Diviseur communs et PGCD

 

Définitions

 

Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b, est un entier naturel qui divise à la fois a et b.

En clair :

Trouver les diviseurs communs à 15 et 40.

Diviseurs de 15 : 1 ; 3 ; 5 ;15

Diviseurs de 40 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40

Leurs diviseurs communs sont donc 1 et 5.

On a a et b deux entiers naturels.

Le plus grand entier qui divise à la fois a et b est appelé : Plus grand commun diviseur de a et b.

Il est noté PGCD (a ; b)

En clair :

On reprend l'exemple précédent, les diviseurs communs à 15 et 40 sont 1 et 5 donc le plus grand est 5, c'est le PGCD (15 ; 40) = 5

Propriété

La somme ainsi que la différence de deux multiples d'un même nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier.

En clair :

Prenons deux multiples de 3 : 15 et 24

Si on en fait la somme : 15+24 = 39 Or 39 est aussi un multiple de 3.

Si on en fait la différence : 24-15 = 9 c'est aussi un multiple de 3.

 

Méthodes de calcul du PGCD

 

1 ère méthode

 

C'est la technique que nous avons utilisée juste avant, soit d'écrire tous les diviseurs communs puis de déterminer lequel est le plus grand.

Cette méthode n'est pas viable pour les nombres complexes.

 

2 ème méthode

C'est l'algorithme d'Euclide.

Il faut que a > b

On fait la division euclidienne de a par b. On obtient le reste r

si r = 0 alors le PGCD est b

si r ? 0 alors on fait la division de b par r

On continue de même jusqu'à obtenir un reste nul.

Le PGCD est alors le dernier reste non nul

Pour trouver le PGCD de 759 et 552 :

algorithme d'euclide

Nombres premiers entre eux

 

Définition

 

Deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

En clair :

On a vu que : PGCD (15 ; 40) = 5 donc 15 et 40 ne sont pas premiers entre eux.

 

 

 

Fraction irréductible

 

Définition

 

Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux

En clair :

4/15 est irréductible car 4 et 15 sont premiers entre eux.

 

Propriété

 

Pour rendre une fraction irréductible on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD

En clair :

Pour rendre la fraction 759/552 irréductible, on a vu plus tôt que le PGCD de 759 et 552 est égal à 69.

Il suffit donc de diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par 69.

Du coup, on obtient 11/8.

 

 

 

Les nombres

 

Propriétés

 

L'ensemble des nombres entiers naturels noté N est l'ensemble de tous les nombres entiers positifs. { 0 ; 1 ;2 ; 3 ...}

L'ensemble des nombres entiers relatifs noté Z  est l'ensemble de tous les nombres entiers positifs et négatifs : { ...-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...}

L'ensemble des nombres décimaux noté D est l'ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction décimale, leur dénominateur est 1 ; 10 ; 100 ; 1000...

L'ensemble des nombres rationnels noté Q  est l'ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction.

L'ensemble des nombres irrationnels est l'ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, qui ne sont pas rationnels c'est-à-dire dont on ne peut avoir que des valeurs approchées et qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction : {? ; √2 ; √3 ...}

 

En clair :

4/3 est un nombre rationnel.

 

Remarques

Tous les nombres entiers naturels sont aussi des nombres entiers relatifs

Tous les nombres entiers relatifs sont des décimaux

Tous les nombres décimaux sont des rationnels

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Les avis sur ce document

Belloc
5 5 0
20/20

Un cours bien introduit qui m'a beaucoup aidé, tout est clair et très bien expliqué.

par - le 26/07/2017
ushpix
5 5 0
20/20

Rien a dire !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

par - le 28/06/2017
oceaneryl1
3 5 0
12/20

Je ne comprend pas le calcule eucledienne pour trouver le PGCD

par - le 24/06/2017
Plus d'avis (26)

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