Nombres entiers et PGCD

Nombres entiers et PGCD

Parmi les cours d'algèbre au programme de mathématiques, se trouve le cours sur les Nombres entiers et le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Notre professeur vous propose sa fiche de révision pour le Brevet !

Document rédigé par un prof Nombres entiers et PGCD

Quiz de Mathematiques :

Quelle est la forme réduite de cette expression : 15x - 7x² - 6 + 5x² - 2x ?

  • A.2x² + 17x - 6
  • B.12x² + 13x - 6
  • C.12x² + 17x - 6
  • D.-2x² + 13x - 6
Répondre aux 10 questions Voir tous les Quiz de Mathematiques

Le contenu du document

I - Diviseur d'un entier naturel

1 - Définition

Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors :
d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d × k
Ainsi, k est aussi diviseur de a.
En clair :
4 est-il un diviseur de 12 ?
12 = 4 × 3, donc 4 est bien un diviseur de 12.

2 - Remarques

Pour tout nombre entier naturel n on a : 1 ×n = n
On en conclut que 1 est un diviseur de n'importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel est un diviseur de lui-même.
En clair :
12 = 1 × 12
1 et 12 sont donc diviseurs de 12.

3 - Vocabulaire important

2 est un diviseur de 6
6 a pour diviseur 2
6 est divisible par 2

II - Diviseur communs et PGCD

1 - Définitions

Un diviseur commun à entiers naturels a et b, est un entier naturel qui divise à la fois a et b.
En clair :
Trouver les diviseurs communs à 15 et 40.
Diviseurs de 15 : 1 ; 3 ; 5 ;15
Diviseurs de 40 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40
Leurs diviseurs communs sont donc 1 et 5.
On a a et b deux entiers naturels.
Le plus grand entier qui divise à la fois a et b est appelé : Plus grand commun diviseur de a et b.
Il est noté PGCD (a ; b)
En clair :
On reprend l'exemple précédent, les diviseurs communs à 15 et 40 sont 1 et 5 donc le plus grand est 5, c'est le PGCD (15 ; 40) = 5

Propriété

La somme ainsi que la différence de deux multiples d'un même nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier.
En clair :
Prenons deux multiples de 3 : 15 et 24
Si on en fait la somme : 15+24 = 39 Or 39 est aussi un multiple de 3.
Si on en fait la différence : 24-15 = 9 c'est aussi un multiple de 3.

2 - Méthodes de calcul du PGCD

1 ère méthode
C'est la technique que nous avons utilisée juste avant, soit d'écrire tous les diviseurs communs puis de déterminer lequel est le plus grand.
Cette méthode n'est pas viable pour les nombres complexes.
2 ème méthode
C'est l'algorithme d'Euclide.
Il faut que a > b
On fait la division euclidienne de a par b. On obtient le reste r
si r = 0 alors le PGCD est b
si r ? 0 alors on fait la division de b par r
On continue de même jusqu'à obtenir un reste nul.
Le PGCD est alors le dernier reste non nul
Pour trouver le PGCD de 759 et 552 :

III - Nombres premiers entre eux

Définition

Deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
En clair :
On a vu que : PGCD (15 ; 40) = 5 donc 15 et 40 ne sont pas premiers entre eux.

IV - Fraction irréductible

Définition

Une fraction est irréductible si son numérateur et sont dénominateur sont premiers entre eux
En clair :
4/15 est irréductible car 4 et 15 sont premiers entre eux.

Propriété

Pour rendre une fraction irréductible on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD
En clair :
Pour rendre la fraction 759/552 irréductible, on a vu plus tôt que le PGCD de 759 et 552 est égal à 69.
Il suffit donc de diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par 69.
Du coup, on obtient 11/8.

V - Les nombres

Propriétés :

L'ensemble des nombres entiers naturels noté N est l'ensemble de tous les nombres entiers positifs. { 0 ; 1 ;2 ; 3 ...}
L'ensemble des nombres entiers relatifs noté Z  est l'ensemble de tous les nombres entiers positifs et négatifs : { ...-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...}
L'ensemble des nombres décimaux noté D est l'ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction décimale, leur dénominateur est 1 ; 10 ; 100 ; 1000...
L'ensemble des nombres rationnels noté Q  est l'ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction.
L'ensemble des nombres irrationnels est l'ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, qui ne sont pas rationnels c'est-à-dire dont on ne peut avoir que des valeurs approchées et qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction : { ? ; }
En clair :
4/3 est un nombre rationnel.

Remarques

Tous les nombres entiers naturels sont aussi des nombres entiers relatifs
Tous les nombres entiers relatifs sont des décimaux
Tous les nombres décimaux sont des rationnels
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

Alidy
5 5 0
20/20

Bien expliqué! Il faut peut être rajoute la méthode des différences successives pour trouver le PGCD.

par - le 29/10/2016
kalimba
5 5 0
20/20

les cours sont vraiment hyper clair j'ai tout compris c'est vraiment genial

par - le 20/06/2016
kalimba
5 5 0
20/20

super bien ces cours g tout compris, j'adore ! = ) = ) = ) = )

par - le 20/06/2016
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