Nombres premiers et fractions irréductibles - Mathématiques - 3ème

Nombres premiers et fractions irréductibles - Mathématiques - 3ème

Voici une fiche de mathématiques rédigée par notre professeur sur les nombres premiers et fractions irréductibles.

Dans cette leçon, vous commencerez par une petite présentation. Puis, vous découvrirez une partie sur les nombres premiers. Ensuite, vous trouverez une partie sur la décomposition en facteurs premiers. Par la suite, vous pourrez lire une partie sur les fractions irréductibles et enfin, la dernière partie concernera les nombres premiers entre eux.

Téléchargez ci-dessous cette fiche de maths de 3ème sur les nombres premiers et les fractions irréductibles.

Document rédigé par un prof Nombres premiers et fractions irréductibles - Mathématiques - 3ème

Le contenu du document

 

 

Présentation

Dans ce chapitre, on continue à explorer la branche des mathématiques qu’on appelle l’arithmétique. Nous allons découvrir ce que sont les nombres premiers et en quoi ils nous sont utiles pour simplifier des fractions

Les nombres premiers sont très utilisés au quotidien sans qu’on s’en rende compte. Ils interviennent dès qu’on utilise un code ou un chiffrement : le code de carte bleue, le chiffrement des conversations passées sur un téléphone mobile, les communications militaires, …

On utilisera tout au long de ce chapitre la notion de diviseurs vue dans un chapitre précédent. Il faut donc l’avoir bien compris et, puisqu’on effectuera des divisions ou des multiplications, il faut également savoir calculer correctement.

 

Nombres premiers

Définition 

Un entier naturel n est dit premier s’il est divisible par exactement deux entiers naturels : 1 et lui-même.

Exemples :

 

  • 2 est un nombre premier car il n’est divisible que par 1 et 2.
  • 1 n’est pas un nombre premier car il n’est divisible que par 1.
  • 6 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2, 3 et 6.

 

Remarque

Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 100 :

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 

Il existe une infinité de nombres premiers.

 

Décomposition en facteurs premiers

Propriété

Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 peut s’écrire de manière unique, à l’ordre près, sous la forme d’un produit de nombres premiers.

On dit alors qu’on a fourni la décomposition en facteurs premiers de l’entier naturel n.

Exemples :

 

  • Essayons de décomposer 48 en facteurs premiers :

 

- On essaye de diviser 48 par 2. On obtient 48 = 2 × 24.

- On recommence avec 24 et on a 24 = 2 × 12. Donc 48 = 2 × 2 ×12.

- On continue avec 12 et 12 = 2 × 6. Donc 48 = 2 × 2 × 2 × 6.

- On a également 6 = 2 × 3. Donc 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2^4 × 3.

Il s’agit de la décomposition en nombres premiers de 48.

 

  • Essayons de décomposer 420 en facteurs premiers :

 

- 420 = 2 × 210.

- 210 = 2 × 105. Donc 420 = 2 × 2 × 105.

- 105 n’est pas divisible par 2, on essaye donc le nombre premier suivant :

105 = 3 × 35 Donc 420 = 2 × 2 × 3 × 35.

- 35 n’est pas divisible par 3, on essaye donc le nombre premier suivant :

35 = 5 × 7. Donc 420 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 2^2 × 3 × 5 × 7

 

  • 390 = 3 × 5 × 26 n’est pas une décomposition en nombres premiers car 26 n’est pas un nombre premier.

 

Remarque

Quand on recherche la décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel, on essaye donc de diviser le nombre par 2 autant de fois que c’est possible puis, une fois qu’on a « épuisé » ce diviseur on recommence avec le nombre premier suivant et ainsi de suite.

 

Fraction irréductible

Définition 

Une fraction a/b, où a et b sont des entiers naturels non nuls, est dite irréductible si a et b ne possèdent pas de diviseurs en commun autre que 1.

Exemples :

 

  • 25/15 n’est pas irréductible car 25 et 15 sont divisibles par 5.
  • 12/35 est irréductible car 12 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et 12 alors que 35 est divisible par 1, 5, 7 et 35. Ces deux entiers naturels n’ont donc aucun diviseur en commun autre que 1.

 

Pour rendre une fraction irréductible, on peut utiliser la décomposition en nombres premiers du numérateur et du dénominateur.

Exemple :

Décomposition en nombres premiers

On peut donc simplifier cette fraction par 2 × 11.

Décomposition en nombres premiers du numérateur et dénominateur

Nombres premiers entre eux

Définition 
Deux entiers naturels a et b sont dits premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
Exemples :
  • Les diviseurs de 30 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 15, 30.
Les diviseurs de 49 sont : 1, 7, 49.
Le seul diviseur commun est 1. Donc 30 et 49 sont premiers entre eux.
  • Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18.
1, 2, 3 et 6 divisent à la fois 18 et 24. Ils ne sont donc pas premiers entre eux.
Remarque
On peut également utiliser la décomposition en facteurs premiers.
On décompose chaque entier naturel en facteurs premiers et on regarde s’ils ont des facteurs en commun.
Exemples :
  • 36 = 2 × 2 × 3 × 3 et 105 = 3 × 5 × 7
3 apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de chacun des deux nombres ; 36 et 105 ne sont donc pas premiers entre eux.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 et 175 = 5 × 5 × 7
Ils n’ont aucun facteur premier en commun ; 24 et 175 sont donc premiers entre eux.
Fin de l'extrait

Vous devez être connecté pour pouvoir lire la suite

Télécharger ce document gratuitement

Donne ton avis !

Rédige ton avis

Votre commentaire est en attente de validation. Il s'affichera dès qu'un membre de Brevet le validera.
Attention, les commentaires doivent avoir un minimum de 50 caractères !
Vous devez donner une note pour valider votre avis.

Vous devez être membre de digiSchool Brevet

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Mot de passe oublié ?