Notion de fonction - Mathématiques - 3ème

Notion de fonction - Mathématiques - 3ème

Voici un cours de maths de niveau troisième sur la notion de fonction rédigé par notre professeur.

Dans cette fiche, vous commencerez par une présentation. Puis, vous poursuivrez avec les définitions. Ensuite, vous étudierez la notion d'antécédent et image. Suivra une partie sur la représentation graphique et enfin sur l'utilisation d'une représentation graphique.

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Présentation

Nous allons aborder dans ce chapitre la notion de fonction. C’est un élément important en mathématiques. Enormément de choses sont gérées par des fonctions. Par exemple, une courbe est très souvent la représentation graphique d’une fonction, les filtres ou transformations qu’on peut apporter à une image sont des traitements informatiques liés à des fonctions mathématiques, les conversions d’unité de température entre les degrés Celsius et les degrés Fahrenheit font également intervenir des fonctions. 

Dans cette fiche, nous allons tout d’abord définir ce qu’est une fonction et ensuite aborder des éléments généraux simples communs à tous les types de fonctions. Dans un autre chapitre nous aborderons deux cas particuliers. Au lycée, de nouvelles fonctions te seront présentées.

Les fonctions sont très liées au calcul littéral. Il est donc important d’avoir bien compris la notion de variable et de savoir mener des calculs littéraux et numériques correctement. Tu seras parfois également amené à résoudre des équations. Les techniques de résolution doivent donc être maîtrisées. Ce cours comporte également un aspect graphique qui ne nécessite pas de connaissances particulières mais qui exigent une certaine rigueur et d’avoir bien appris et compris les définitions du cours.

La difficulté principale de ce chapitre réside dans l’abstraction de la notion et des différents outils, vus cette année ou les années précédentes, qu’il faut être capable de réinvestir.

 

Définition

Définition 

On appelle fonction f le processus qui à un nombre x lui associe un unique nombre qu’on notera f(x).

La lettre x est appelée la variable de la fonction et le nombre f(x), qui se lit « f de x » est l’image du nombre x par la fonction f.

On note f : x →f(x)

Remarque : On peut voir une fonction comme une « machine » à laquelle on donne un nombre x et qui fournit en sortie un nouveau nombre f(x). Les fonctions ne s’appellent pas toutes f ; on peut utiliser toutes les lettres de l’alphabet.

Exemples : 

 

  • La fonction f qui à un nombre lui associe son double est notée f : x →2x.

 

Ainsi, au nombre 1 lui est donc associé le nombre 2 par la fonction f, au nombre -3 lui est associé le nombre -6 et au nombre 12,3 lui est associé le nombre 24,6. Pour pouvoir déterminer l’image d’un nombre on le multiplie par 2. Par conséquent deux nombres distincts auront des images différentes (mais ce n’est pas toujours le cas).

On note alors f(1) = 2 ; f(-3) = -6 et f(12,3) = 24,6

 

  • La fonction g qui à un nombre lui associe son carré est notée g : x →x2.

 

Le nombre -2 a donc pour image le nombre 4 tout comme le nombre 2. 

On note g(-2) = 4 et g(2) = 4.

Deux nombres distincts peuvent avoir la même image.

Remarques : 

 

  • Un nombre, comme l’indique la définition d’une fonction, ne peut pas avoir plusieurs images. Il n’est donc pas possible, par exemple, de trouver un nombre x tel que f(x) = 1 et qu’en même temps f(x) = 2 où f est une fonction donnée.
  • Il ne faut pas confondre f et f(x) : f est le nom d’une fonction alors que f(x) est un nombre.

 

 

Antécédent et image

Définition 

On considère une fonction f.

 

  • Pour un nombre x, le nombre f(x) est appelé l’image du nombre x par la fonction f.
  • Pour un nombre y, on appelle antécédent de y par la fonction f un nombre x tel que f(x) = y.

 

Remarques :

 

  • Comme il l’a déjà été dit, un nombre possède une unique image.
  • Un nombre peut posséder plusieurs antécédents.

 

Exemple : si on considère la fonction f : x →x2 alors f(2) = f(-2) = 4.

 

  • Un nombre peut ne pas avoir d’antécédent.

 

Exemple : si on considère la fonction f : x →x2 le nombre -1 ne possède pas d’antécédent puisque le carré d’un nombre est toujours positif ou nul.

 

  • Trouver les antécédents d’un nombre y  par une fonction f revient donc à trouver les nombres x tels que f(x) = y  ce qui nous amène à résoudre une équation.

 

On verra dans une prochaine partie comment déterminer des antécédents et des images graphiquement.

On peut les déterminer également par le calcul.

Exemples : 

 

  • On considère la fonction f : x →5x + 1.

 

- L’image de 2 par la fonction f est f(2) = 5 × 2 + 1 = 11. L’image de -4 par la fonction f est f(-4) = 5 ×(-4) + 1 = -20 + 1 = -19

- On veut déterminer, s’il(s) existe(nt), le(s) antécédents de 3. On cherche donc les valeurs de x telles que f(x) = 3.  On est par conséquent amené à résoudre l’équation 5x + 1 = 3.

Soit 5x  + 1 – 1 = 3 – 1 ou encore 5x  = 2.

On divise maintenant les deux membres de l’équation par 5 et on trouve : x = 2/5. Le seul antécédent de 3 est donc 2/5. 

On vérifie : f(2/5) = 5 x (2/5) + 1 = 2 + 1 = 3.

 

  • On considère la fonction g : x →2x2 + 1.

 

- L’image de -2 par la fonction g est g(-2) = 2 × (-2)2 + 1 = 2 × 4 + 1 = 9. L’image de 3 par la fonction g est g(3) = 2 × 32 + 1 = 2 × 9 + 1 = 19.

- On veut déterminer, s’il(s) existe(nt), le(s) antécédents 33. On doit donc résoudre l’équation 2x2 + 1 = 33. Soit 2x2 = 32 ou encore x2 = 16.

Deux nombres ont pour carré 16 : -4 et 4. Ainsi les antécédents de 33 sont -4 et 4.

On vérifie : g(-4) = 2 × (-4)2 + 1 = 2 × 16 + 1 = 33.

Et g(4) = 2 × 42 + 1 = 2 × 16 + 1 = 33.

 

Représentation graphique

On va considérer dans cette partie la fonction f : x →x2 + 2.

On va calculer les images de plusieurs nombres et pour synthétiser les résultats on va les présenter dans un tableau qu’on appellera tableau de valeurs.

tableau de valeurs

Définition 

La représentation graphique d’une fonction f dans un repère donné est l’ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)).

A partir du tableau précédent, on va donc placer les points de coordonnées (-2 ; 6) , (-1,5 ; 4,25) , (-1 ; 3) , …

On les relie ensuite et on obtient la courbe suivante :

courbe 1

Utilisation d’une représentation graphique

Nous allons voir dans cette partie comment lire les images et antécédents de nombres par une fonction.

Exemple : Détermination de l’image d’un nombre

Voici la représentation graphique d’une fonction pour laquelle on souhaite lire l’image du nombre 3.

courbe 2

On se positionne sur l’axe des abscisses à l’abscisse 3. On rejoint ensuite la courbe et on lit l’ordonnée du point trouvé, ici 4.

Par conséquent l’image du nombre 3 est 4.

Exemple : Détermination d’antécédents d’un nombre

Voici la représentation graphique d’une fonction et on cherche à déterminer les antécédents du nombre 6.

courbe 3

On se positionne sur l’axe des ordonnées à l’ordonnée 6 et on trace une droite parallèle à l’axe des abscisses. On remarque, sur cet exemple, que cette droite coupe la courbe en plusieurs points dont on lit les abscisses.

Par conséquent, les antécédents de 6 par la fonction sont -3, -1 et 4.

Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

charlely
4 5 0
16/20

ca va mais il manque des choses pour qu'ont comprenne

par - le 02/03/2017

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