Repérage dans l'espace et sur une sphère - Mathématiques - 3ème

Repérage dans l'espace et sur une sphère - Mathématiques - 3ème

Voici un cours de maths de troisième sur les repérages dans l'espace et sur une sphère.

Dans cette leçon, vous trouverez tout d'abord une présentation. Puis, vous commencerez le cours avec une partie sur les repérages dans l'espace et vous poursuivrez avec les repérages dans une sphère.

Téléchargez ci-dessous cette fiche de maths pour le Brevet sur les repérages dans l'espace et sur une sphère.

Document rédigé par un prof Repérage dans l'espace et sur une sphère - Mathématiques - 3ème

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Présentation

Le repérage a toujours intéressé l’homme. Cela consiste à déterminer la position d’un objet (ou un lieu) dans le plan ou dans l’espace. Dans le plan on utilise très souvent les coordonnées cartésiennes (abscisses et ordonnées) mais ce n’est pas la seule façon de placer un point dans un repère. On peut utiliser le couple (distance à l’origine, angle par rapport à l’horizontale). Cette représentation est utilisée par exemple par les radars et sonars.

Dans l’espace, il est également possible d’utiliser différents types de coordonnées : les coordonnées cartésiennes sont toujours présentes et, pour pouvoir positionner des lieux à la surface du globe terrestre, on se sert de droites imaginaires qui permettent de définir leur longitude et leur latitude.

Nous allons donc voir dans ce chapitre ces deux façons de représenter l’espace. Il n’y a pas de prérequis particulier pour l’aborder. Il faudra cependant bien retenir les différents termes qui seront employés afin de ne pas faire de « contre-sens ».

Les coordonnées cartésiennes seront réinvesties au lycée, plus particulièrement pour les élèves qui continueront dans une section scientifique. Le repérage sur la sphère est peu utilisé en mathématiques au lycée mais peut être vu en géographie. Il est de plus à la base de l’utilisation des GPS mais cet aspect est très souvent caché à l’utilisateur.

Repérage dans l’espace

Pour se repérer dans l’espace on peut utiliser un repère utilisant 3 axes gradués. On représente très souvent cette situation à l’aide d’un pavé droit ou d’un cube.

Exemple :

pavé droit

Dans cet exemple, on se place dans un repère d’origine A et on va considérer les 3 axes suivants : 

 

  • L’axe des abscisses : la droite (AB)
  • L’axe des ordonnées : la droite (AC)
  • L’axe des cotes ou des altitudes : la droite (AD)

 

On va, donner les coordonnées des autres points de la figure en suivant, dans l’ordre, ces trois axes.

Ainsi :

 

  • le point A a pour coordonnées (0 ; 0 ; 0)
  • Le point B a pour coordonnées (4 ; 0 ; 0)
  • Le point C a pour coordonnées (0 ; 6 ; 0)
  • Le point D a pour coordonnées (0 ; 0 ; 4)
  • Le point E a pour coordonnées (4 ; 6 ; 0) (l’abscisse de E est 4, son ordonnée 6 et sa cote est 0)
  • Le point F a pour coordonnées (4 ; 0 ; 4)
  • Le point G a pour coordonnées (4 ; 6 ; 4)
  • Le point H a pour coordonnées (0 ; 6 ; 4)

 

Repérage sur une sphère

Afin de faciliter la navigation maritime, dans un premier temps, un autre système de représentation a été inventé. 

Dans ce repère :

 

  • L’origine est le centre de la terre
  • L’équateur partage la terre en deux hémisphères (l’hémisphère nord et l’hémisphère sud)
  • Un méridien (cercle passant par les deux pôles) de référence partage la terre en deux parties (Est et Ouest). Le méridien de Greenwich sert de référence en géographie mais est distant d’une centaine de mètre du méridien servant de référence pour la localisation par GPS.

 

sphère

 

Exemples :

  • Les coordonnées de Paris sont 48°51,2046’ Nord et 2°20,928’ Est. 48°51.2046’ Nord correspond à sa latitude et 2°20,928’ Est correspond à sa longitude.
  • Les coordonnées de New York sont 40°45,8562’ Nord et 74°0,3582’ Ouest. On note parfois (40°45,8562’N ; 74°0,3582’E)
  • Les coordonnées de Sydney sont 33°52,071’ Sud et 151°12,4392’ Est

 

Les villes de Paris et New York sont donc situées dans l’hémisphère Nord et Sydney est située dans l’hémisphère sud.

Les villes de Paris et Sydney sont situées à l’est du méridien de Greenwich et New York est située à l’ouest de ce méridien.

Remarques : 

  • Les coordonnées sont exprimées en degrés (°), minutes(’) et parfois secondes(’ ’).
  • La latitude et la longitude correspondent à des angles entre :
    • L’équateur et le parallèle du lieu pour la latitude
    • Le méridien de Greenwich et le méridien du lieu pour la longitude

 

Fin de l'extrait

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