Transformations géométriques - Mathématiques - 3ème

Transformations géométriques - Mathématiques - 3ème

digiSchool Brevet vous propose gratuitement ce cours de maths rédigé par un professeur. Il porte sur les transformations géométriques.

Dans cette leçon, vous trouverez avant toute chose une présentation. Puis, vous commencerez le cours par une partie sur la symétrie axiale. Ensuite, vous verez la symétrie centrale. Puis, vous aborderez la translation suivie de la rotation. Enfin, vous verrez les homothéties et les propriétés.

Téléchargez ci-dessous ce cours de mathématiques pour le Brevet sur les transformations géométriques.

Transformations géométriques - Mathématiques - 3ème

Le contenu du document


 

Présentation

Dans ce chapitre on va aborder toutes les transformations géométriques vues au collège. Certaines, les symétries axiales et centrales, l’ont déjà été en sixième et en cinquième. D’autres ne sont traitées qu’en fin de cycle 4. Ce sera l’occasion de (re)voir les définitions de chacune d’entre-elles et d’apprendre à reconnaître que deux figures sont bien l’image d’une de l’autre par une de ces transformations. 

Une partie du travail que tu auras à réaliser sera de construire des figures en utilisant ces transformations. Il faudra donc que tu saches utiliser correctement ton matériel de géométrie (équerre, compas, rapporteur, …) et que tu fasses preuve de minutie lors de tes tracés.

Tu retrouveras ces transformations au lycée lorsque tu feras des démonstrations en géométrie. Il est donc particulièrement intéressant d’avoir bien compris comment elles fonctionnent et les liens qui peuvent exister avec les milieux, le parallélisme, les droites perpendiculaires. Les translations, en particulier, sont à la base d’un outil mathématiques, les vecteurs, qui te permettra de construire de nouveaux raisonnements.

 

Symétrie axiale

Définition 

On considère une droite (d) du plan. La symétrie axiale par rapport à la droite (d) est la transformation du plan qui, à tout point M du plan, associe le point M’ tel que la droite (d) soit la médiatrice du segment [MM’].

symétrie axiale

 

Remarque : Deux figures sont symétriques par rapport à un axe si elles se superposent lorsqu’on plie la feuille selon la droite (d).

symétrie axiale maths

 

Symétrie centrale

Définition 

On considère un point O du plan. La symétrie centrale de centre O est la transformation du plan qui, à tout point M du plan, associe le point M’ tel que O soit le milieu du segment [MM’].

symétrie centrale

Remarque : Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si elles se superposent lorsqu’on effectue un demi-tour  autour du point O.

symétrie centrale maths

 

Translation

Définition 

On considère deux points du plan A et B. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui à tout point M du plan lui associe le point M’ tel que le quadrilatère ABM’M soit un parallélogramme (éventuellement aplati).

translation

 

Remarques :

 

  • Définir une translation qui transforme A en B revient à définir les 3 éléments suivants :
    • Une direction (ou support) : la droite (AB)
    • Un sens : de A vers B
    • Une distance : la longueur AB

 

Deux figures sont symétriques par une translation qui transforme A en B si elles se superposent lorsqu’on effectue un glissement de longueur AB selon la droite (AB), dans le sens de A vers B.

translation maths

 

Rotation

Définition 

On considère un point du plan O et un nombre α. On appelle rotation de centre O et d’angle α, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre,  la transformation du plan qui à tout point M du plan lui associe le point M’ tel que :

 

  • OM = OM’ et
  • = α (dans le sens inverse des aiguilles d’une montre)

 

rotation

 

Remarque : Il est possible d’effectuer une rotation dans deux sens :

 

  • Dans le sens des aiguilles d’une montre, appelé sens horaire
  • Dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens anti horaire ou sens trigonométrique.

 

Remarque : Deux figures sont symétriques par une rotation de centre O et d’angle α dans le sens inverse des aiguilles d’une montre si les deux figures sont superposables en faisant tourner une des figures autour du point O.

rotation maths

 

Homothétie

Définition 

On considère un point O et un nombre k positif . On appelle homothétie de centre O de rapport k la transformation du plan qui à tout point M du plan lui associe le point M’ tel que :

 

  • Le point M’ appartient à la demi-droite [OM)
  • OM’ = k × OM

 

homothétie

 

Définition 

On considère un point O et un nombre k négatif. On appelle homothétie de centre O de rapport k la transformation du plan qui à tout point M du plan lui associe le point M’ tel que :

 

  • Le point O appartient au segment [MM’]
  • OM’ = -k × OM   (le nombre k étant négatif, le nombre –k est positif)

 

homothétie maths

 

Remarque : Deux figures sont symétriques par une homothétie de centre O et de  rapport k si l’une des deux est un agrandissement (ou une réduction) de l’autre par rapport au point O.

homothéties maths

 

Propriétés

propriétés maths

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